4.15: Soluciones, respuestas o sugerencias a 4.14

Consejos para 4.14.1. Imagina una corriente de 6\(I\) entrando en la esquina inferior izquierda. Sigue la corriente a través del cubo, anotando la corriente a través de cada una de las 12 resistencias. También anote la caída de potencial a través de cada resistencia y, por lo tanto, la caída de potencial total a través del cubo. Hago la respuesta para la resistencia efectiva de todo el cubo\(\frac{5}{6}r\).

Solución para 4.14.2. Por simetría, los potenciales de A y B son iguales. Por lo tanto, no hay corriente entre A y B.

Pista para 4.14.3. Reemplazar el delta muy dibujado con su estrella correspondiente. Después de eso debería ser sencillo, aunque hay un poco de cálculo por hacer. Hago la respuesta 1.52\(\Omega\).

Solución para 4.14. De la ecuación 4.8.1, la velocidad a la que se genera calor en una resistencia R conectada a través de una batería de EMF E y resistencia interna r es\(\frac{E^2R}{(R+r)^2}\). Si las resistencias están conectadas en serie,\(R=R_1+R_2\) mientras que si están conectadas en paralelo,\(R+\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}\). Si el calor generado es el mismo en cualquier caso, debemos tener

\[\frac{R_1+R_2}{(R_1+R_2+r)^2}=\frac{\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}}{\left ( \frac{R_1R_2}{R_1+R_2}+r \right )^2}.\nonumber\]

Después de un poco de álgebra, obtenemos

\[r=\frac{R_1+R_2-\sqrt{R_1R_2}}{\sqrt{\frac{R_1}{R_2}}+\sqrt{\frac{R_2}{R_1}}-1}.\label{4.15.1}\]

Con R ₁ = 8\(\Omega\) y R ₂ = 0.5\(\Omega\), obtenemos r = 2.00\(\Omega\).

Solución para 4.14.5.

En la ecuación 4.15.1, let\(\frac{r}{R_1}\) y\(\sqrt{\frac{R_2}{R_1}}=x\). La ecuación 4.15.1 se convierte en

\[a=\frac{1+x^2-x}{(1/x)+x-1}.\label{4.15.2}\]

Tras el reordenamiento, esto es

\[a-(a+1)x+(a+1)x^2-x^3=0 \label{4.15.3}\]

En nuestro ejemplo,\(a=\frac{r}{R_1}=\frac{0.50}{0.25}=2\) para que la ecuación 4.15.4 sea

\[2-3x+3x^2-x^3=0,\nonumber\]

o

\[(2-x)(1-x+x^2)=0\nonumber\]

La única raíz real es x = 2. Pero\(R_2=R_1x^2=0.25x^2=1\Omega\).

Solución a 4.14.6 Supongamos que hay n enlaces (2 n resistencias) a la derecha de la línea punteada, y que la resistencia efectiva de estos n enlaces es R _n. Agrega un enlace más, a la izquierda. La resistencia efectiva de los enlaces n + 1 es entonces

\[R_{n+1}=\frac{2R_n+1}{R_n+1}.\label{4.15.4}\]

Como\(n\to \infty,\,R_{n+1}\to R_n\to R. \therefore R \frac{2R+1}{R+1},\, \text{or }R^2-R-1=0\).

De donde,\(R=\frac{1}{2}(\sqrt{5}+1)=1.618033989 \Omega \).

Solución a 4.14.7 Mediante la aplicación repetida de la ecuación 4.15.4, encontramos:

La inspección muestra que\(R_n=\frac{F_{2n+1}}{F_{2n}},\) dónde\(F_m\) está el m ésimo miembro de la secuencia de Fibonacci: 1 1 2 3 5 8 13 21...

Pero, a partir de la teoría de las secuencias de Fibonacci,

\[F_m = \frac{1}{\sqrt{5}} \left \{ \left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right )^m-\left (\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right )^m \right \}.\nonumber\]

De ahí

\[R_n=\frac{1}{2}\left ( \frac{(1+\sqrt{5})^{2n+1}-(1-\sqrt{5})^{2n+1}}{(1+\sqrt{5})^{2n}-(1-\sqrt{5})^{2n}}\right )\Omega \nonumber \]

Llamaré al potencial en B (y en los polos negativos de cada celda) cero, lo que equivale a poner a tierra (puesta a tierra) el punto B; y llamaré al potencial en A V.

No creo que todas las corrientes vayan a estar en la dirección señalada en el dibujo. Una o más deben estar en la otra dirección, y se están recargando una o más de las celdas. No sé cuál está mal, así que simplemente los dejaré como dibujados por el momento, y ya veremos qué pasa. Aplique la ley de Ohm a cada resistencia por turno:

\(I_1=\frac{V-6}{2};\,I_x=\frac{V-12}{3};\,I_3=\frac{V-4}{2}\)amperios, y aplicar la primera regla de Kirchhoff a A:\(I_1+I_2+I_3=0\). De estos, obtenemos V = 6.750 V,\(I\) ₁ = 0.375 A,\(I\) ₂ = - 1.75 A,\(I\) ₂ = 1.375 A.