5.12: Fuerza entre las Placas de un Capacitor de Placa Paralelo Plano

Imaginamos un condensador con una carga\(+Q\) en una placa y\(-Q\) en la otra, e inicialmente las placas están casi, pero no del todo, conmovedoras. Hay una fuerza\(F\) entre las placas. Ahora separamos gradualmente las placas (pero la separación sigue siendo lo suficientemente pequeña como para que siga siendo pequeña en comparación con las dimensiones lineales de las placas y podemos mantener nuestra aproximación de un campo uniforme entre las placas, y así la fuerza permanece a\(F\) medida que las separamos). El trabajo realizado en la separación de las placas de cerca de cero a\(d\) es\(Fd\), y esto debe entonces igualar la energía almacenada en el condensador,\(\frac{1}{2}QV\). El campo eléctrico entre las placas es\(E = V/d\), por lo que encontramos para la fuerza entre las placas

\[\label{5.12.1}F=\frac{1}{2}QE.\]

Ahora podemos hacer un interesante experimento imaginario, sólo para ver que entendemos los diversos conceptos. Imaginemos que tenemos un condensador en el que las placas son horizontales; la placa inferior está fija, mientras que la placa superior está suspendida por encima de ella de un resorte de fuerza constante\(k\). Conectamos una batería a través de las placas, por lo que las placas se atraerán entre sí. La placa superior se moverá hacia abajo, pero sólo hasta el momento, debido a que la atracción eléctrica entre las placas es contrarrestada por la tensión en el resorte. Calcular la separación de equilibrio \(x\)entre las placas en función del voltaje aplicado\(V\). (¡Horrible palabra! No decimos “metreaje” por longitud, “kilogramaje” para masa o “secundario” por tiempo, entonces ¿por qué decimos “voltaje” para diferencia de potencial y “superficie” para área? ¡Uf!) Deberíamos poder usar nuestra invención como voltímetro, ¡incluso tiene una resistencia infinita! Refiérase a la Figura\(V.\) 11.

\(\text{FIGURE V.11}\)

Supondremos que la separación cuando la diferencia de potencial es cero es a, y la separación cuando la diferencia de potencial es\(V\) es\(x\), momento en el que el resorte se ha extendido en una longitud\(a - x\).

La fuerza eléctrica entre las placas es\(\frac{1}{2}QE\). Ahora\(Q=CV=\frac{\epsilon_0AV}{x}\text{ and }E=\frac{V}{x}\), así es la fuerza entre las placas\(\frac{\epsilon_0AV^2}{2x^2}\). Aquí\(A\) está el área de cada placa y se supone que el experimento se realiza en el aire, cuya permitividad está muy cerca\(\epsilon_0\). La tensión en el resorte estirado es\(k(a - x)\), por lo que igualar las dos fuerzas nos da

\[V^2=\frac{2kx^2(a-x)}{\epsilon_0A}.\label{5.12.2}\]

Cálculo muestra [¡hazlo! — simplemente diferenciar\(x^2(1 - x)\)] que\(V\) tiene un valor máximo de\(V_{\text{max}}=\sqrt{\frac{8ka^3}{27\epsilon_0A}}\) para una separación\(x=\frac{2}{3}a\). Si expresamos la diferencia de potencial en unidades de\(V_{\text{max}}\) y la separación en unidades de\(a\), la Ecuación\ ref {5.12.2} se convierte

\[\label{5.12.3}V^2=\frac{27x^2(1-x)}{4}.\]

En la Figura\(V.\) 12 he trazado la separación en función de la diferencia de potencial.

\(\text{FIGURE V.12}\)

Como era de esperar, la diferencia de potencial es cero cuando la separación es 0 o 1 (y por lo tanto se esperaría que pasara por un máximo para alguna separación intermedia).

Vemos que pues\(V<V_{\text{max}}\) hay dos posiciones de equilibrio. Por ejemplo, si\(V = 0.8\), muéstralo\(x = 0.396305 \text{ or }0.876617\). También surge la pregunta: ¿qué sucede si aplicas a través de las placas una diferencia de potencial que es mayor que la\(V\) _máxima?

Se puede obtener más información a partir de consideraciones energéticas. La energía potencial del sistema es el trabajo realizado para mover la placa superior\(x = a \text{ to }x = x\) mientras que la diferencia de potencial es\(V\):

\[U=\frac{\epsilon_0AV^2}{2a}-\frac{\epsilon_0AV^2}{2x}+\frac{1}{2}k(a-x)^2.\label{5.12.4}\]

Es posible que tengas que referirte a la Sección 5.15 para estar seguro de que tenemos esto bien.

Si expresamos\(V\) en unidades de\(V_\text{max}\),\(x\) en unidades de\(a\), y\(U\) en unidades de \(ka^2\)esto se convierte

\[U=\frac{4}{27}V^2(1-1/x)+\frac{1}{2}(1-x)^2\label{5.12.5}\]

En la Figura\(V.\) 13 he representado la energía versus separación para tres valores de diferencia de potencial, 90% de\(V_\text{max}\)\(V_\text{max}\), y 110% de\(V_\text{max}\).

\(\text{FIGURE V.13}\)

Vemos que para\(V < V_\text{max}\), hay dos posiciones de equilibrio, de las cuales la inferior (x menor) es inestable, y vemos exactamente lo que sucederá si la placa superior se desplaza ligeramente hacia arriba (más grande\(x\)) de la posición de equilibrio inestable o si es desplazado ligeramente hacia abajo (menor\(x\)). La posición de equilibrio superior es estable.

Si\(V > V_\text{max}\), no hay posición de equilibrio, y\(x\) baja a cero, es decir, las placas se sujetan juntas.