5.13: Compartir una carga entre dos capacitores
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\(\text{FIGURE V.14}\)
Contamos con dos capacitores. \(\text{C}_2\)está inicialmente sin cobrar. Inicialmente,\(\text{C}_1\) lleva una carga\(Q_0\) y la diferencia de potencial a través de sus placas es\(V_0\), tal que
\[Q_0=C_1V_0,\]
y la energía del sistema es
\[U_0=\frac{1}{2}C_1V_0^2.\]
Ahora cerramos los interruptores, para que la carga se comparta entre los dos capacitores:
\(\text{FIGURE V.15}\)
Los condensadores\(\text{C}_1\) y\(\text{C}_2\) ahora llevan cargas\(Q_1\) y\(Q_2\) tal que\(Q_0 = Q_1 + Q_2\) y
\[Q_1=\frac{C_1}{C_1+C_2}Q_0\quad \text{ and }\quad Q_2=\frac{C_2}{C_1+C_2}Q_0.\]
La diferencia de potencial entre las placas de cualquiera de los condensadores es, por supuesto, la misma, por lo que podemos llamarlo\(V\) sin subíndice, y se ve fácilmente, al aplicar\(Q = CV\) a cualquiera de los condensadores, que
\[V=\frac{C_1}{C_1+C_2}V_0.\]
Ahora podemos aplicar\(U=\frac{1}{2}CV^2\) a cada condensador a su vez para encontrar la energía almacenada en cada uno. Encontramos para las energías almacenadas en los dos capacitores:
\[U_1=\frac{C_1^3V_0^2}{2(C_1+C_2)^2}\quad \text{ and }\quad U_2=\frac{C_2C_1^2V_0^2}{2(C_1+C_2)^2}.\]
La energía total almacenada en los dos condensadores es la suma de estos, que es
\[U=\frac{C_1^2V_0^2}{2(C_1+C_2)},\]
que también se puede escribir
\[U=\frac{C_1}{C_1+C_2}U_0.\]
¡Sorpresa, sorpresa! La energía almacenada en los dos condensadores es menor que la energía en la que se almacenó originalmente\(\text{C}_1\). ¿Qué ha pasado con la energía perdida?
Una respuesta perfectamente razonable y no incorrecta es que se ha disipado como calor en los cables de conexión a medida que la corriente fluía de un condensador a otro. No obstante, se ha encontrado en la física de bajas temperaturas que si sumerges ciertos metales en helio líquido pierden toda la resistencia eléctrica y se vuelven superconductores. Entonces, conectemos los condensadores con cables superconductores. Entonces no hay disipación de energía como calor en los cables —así que queda la pregunta: ¿a dónde se ha ido la energía faltante?
Bueno, ¿tal vez se calienta el medio dieléctrico en los condensadores? Nuevamente esto parece una respuesta perfectamente razonable y probablemente no del todo incorrecta. Sin embargo, mis condensadores tienen un vacío entre las placas, y están conectados por cables superconductores, de manera que no se genera calor ni en el dieléctrico ni en los cables. ¿A dónde se ha ido esa energía?
Esto tendrá que seguir siendo un misterio por el momento, y un tema para la conversación a la hora del almuerzo. En un capítulo posterior sugeriré otra explicación.