5.14: Dieléctricos Mixtos
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En esta sección se aborda la pregunta: Si hay dos o más medios dieléctricos entre las placas de un condensador, con diferentes permitividades, ¿son diferentes los campos eléctricos en los dos medios, o son iguales? La respuesta depende de
- Ya sea por “campo eléctrico” quiere decirE oD;
- La disposición de los medios entre las placas, es decir, si los dos dieléctricos están en serie o en paralelo.
Supongamos primero que dos medios están en serie (FiguraV. 16).
FIGURE V.16
Nuestro condensador tiene dos dieléctricos en serie, el primero de espesord1 y permitividadϵ1 y el segundo de espesord2 y permitividadϵ2. Como siempre, se supone que los espesores de los dieléctricos son pequeños para que los campos dentro de ellos sean uniformes. Esto es efectivamente dos capacitores en serie, de capacitanciasϵ1A/d1 and ϵ2A/d2. Por lo tanto, la capacitancia total es
C=ϵ1ϵ2Aϵ2d1+ϵ1d2.
Imaginemos que la diferencia de potencial entre las placas esV0. Específicamente, supondremos que el potencial de la placa inferior es cero y el potencial de la placa superior esV0. La cargaQ retenida por el condensador (positiva en una placa, negativa en la otra) viene dada porQ=CV0, y por lo tanto la densidad de carga superficialσ esCV0/A. La ley de Gauss es que elD flujo total que surge de una carga es igual a la carga, de manera que en esta geometríaD=σ, y esto no se ve alterado por la naturaleza de los materiales dieléctricos entre las placas. Así, en este condensador,D=CV0/A=Q/A en ambos medios. AsíD es continuo a través de la frontera.
Entonces por aplicación deD=ϵE a cada uno de los medios, encontramos que losE -campos en los dos medios sonE1 =Q/(ϵ1A) yE2 =Q/(ϵ2A), siendo elE campo -campo (y por lo tanto el gradiente potencial) mayor en el medio con la permitividad menor.
El potencial V en el límite mediático viene dado porV/d2=E2. Combinando esto con nuestra expresión forE2,Q=CV and and Equation\ ref {5.14.1}, encontramos para el potencial límite:
V=ϵ1d2ϵ2d1+ϵ1d2V0.
Supongamos ahora que dos medios están en paralelo (FiguraV. 17).
FIGURE V.17
Esta vez, tenemos dos dieléctricos, cada uno de espesord, pero uno tiene áreaA1 y permitividadϵ1 mientras que el otro tiene áreaA2 y permitividadϵ2. Esto es solo dos condensadores en paralelo, y la capacitancia total es
C=ϵ1A1d+ϵ2A2d
ElE -campo es solo el gradiente de potencial, y esto es independiente de cualquier medio entre las placas, de manera queE=V/d. en cada uno de los dos dieléctricos. Después de eso, simplemente tenemos esoD1=ϵ1E and D2=ϵ2E. La densidad de carga en las placas viene dada por la ley de Gauss comoσ=D, de manera queϵ1<ϵ2, si, la densidad de carga en la porción izquierda de cada placa es menor que en la porción derecha — aunque el potencial es el mismo en cada placa. (La superficie de un metal es siempre una superficie equipotencial.) Las dos densidades de carga diferentes en cada placa son el resultado de las diferentes polarizaciones de los dos dieléctricos, algo que se comprenderá más fácilmente un poco más adelante en este capítulo cuando tratemos de la polarización mediática.
Hemos establecido que:
- El componente deD perpendicular a un límite es continuo;
- El componente deE paralelo a un límite es continuo.
En la FiguraV. 18 estamos mirando elD -campo y en elE -campo a medida que cruza un límite en el queϵ1<ϵ2. Tenga en cuenta queDy yEx son los mismos a cada lado del límite. Esto da como resultado:
tanθ1tanθ2=ϵ1ϵ2.
FIGURE V.18