5.14: Dieléctricos Mixtos

En esta sección se aborda la pregunta: Si hay dos o más medios dieléctricos entre las placas de un condensador, con diferentes permitividades, ¿son diferentes los campos eléctricos en los dos medios, o son iguales? La respuesta depende de

1. Ya sea por “campo eléctrico” quiere decir\(E\) o\(D\);
2. La disposición de los medios entre las placas, es decir, si los dos dieléctricos están en serie o en paralelo.

Supongamos primero que dos medios están en serie (Figura\(V.\) 16).

\(\text{FIGURE V.16}\)

Nuestro condensador tiene dos dieléctricos en serie, el primero de espesor\(d_1\) y permitividad\(\epsilon_1\) y el segundo de espesor\(d_2\) y permitividad\(\epsilon_2\). Como siempre, se supone que los espesores de los dieléctricos son pequeños para que los campos dentro de ellos sean uniformes. Esto es efectivamente dos capacitores en serie, de capacitancias\(\epsilon_1A/d_1 \text{ and }\epsilon_2A/d_2\). Por lo tanto, la capacitancia total es

\[C=\frac{\epsilon_1\epsilon_2A}{\epsilon_2d_1+\epsilon_1d_2}.\label{5.14.1}\]

Imaginemos que la diferencia de potencial entre las placas es\(V_0\). Específicamente, supondremos que el potencial de la placa inferior es cero y el potencial de la placa superior es\(V_0\). La carga\(Q\) retenida por el condensador (positiva en una placa, negativa en la otra) viene dada por\(Q = CV_0\), y por lo tanto la densidad de carga superficial\(\sigma\) es\(CV_0/A\). La ley de Gauss es que el\(D\) flujo total que surge de una carga es igual a la carga, de manera que en esta geometría\(D = \sigma\), y esto no se ve alterado por la naturaleza de los materiales dieléctricos entre las placas. Así, en este condensador,\(D = CV_0/A = Q/A\) en ambos medios. Así\(D\) es continuo a través de la frontera.

Entonces por aplicación de\(D = \epsilon E\) a cada uno de los medios, encontramos que los\(E\) -campos en los dos medios son\(E_1\) =\(Q\)/\((\epsilon_1A\)) y\(E_2\) =\(Q\)/\((\epsilon_2A\)), siendo el\(E\) campo -campo (y por lo tanto el gradiente potencial) mayor en el medio con la permitividad menor.

El potencial V en el límite mediático viene dado por\(V/d_2=E_2\). Combinando esto con nuestra expresión for\(E_2\),\(Q = CV\) and and Equation\ ref {5.14.1}, encontramos para el potencial límite:

\[V=\frac{\epsilon_1d_2}{\epsilon_2d_1+\epsilon_1d_2}V_0.\label{5.14.2}\]

Supongamos ahora que dos medios están en paralelo (Figura\(V.\) 17).

\(\text{FIGURE V.17}\)

Esta vez, tenemos dos dieléctricos, cada uno de espesor\(d\), pero uno tiene área\(A_1\) y permitividad\(\epsilon_1\) mientras que el otro tiene área\(A_2\) y permitividad\(\epsilon_2\). Esto es solo dos condensadores en paralelo, y la capacitancia total es

\[C=\frac{\epsilon_1A_1}{d}+\frac{\epsilon_2A_2}{d}\label{5.14.3}\]

El\(E\) -campo es solo el gradiente de potencial, y esto es independiente de cualquier medio entre las placas, de manera que\(E = V/d\). en cada uno de los dos dieléctricos. Después de eso, simplemente tenemos eso\(D_1=\epsilon_1E \text{ and }D_2=\epsilon_2E\). La densidad de carga en las placas viene dada por la ley de Gauss como\(\sigma = D\), de manera que\(\epsilon_1 < \epsilon_2\), si, la densidad de carga en la porción izquierda de cada placa es menor que en la porción derecha — aunque el potencial es el mismo en cada placa. (La superficie de un metal es siempre una superficie equipotencial.) Las dos densidades de carga diferentes en cada placa son el resultado de las diferentes polarizaciones de los dos dieléctricos, algo que se comprenderá más fácilmente un poco más adelante en este capítulo cuando tratemos de la polarización mediática.

Hemos establecido que:

1. El componente de\(\textbf{D}\) perpendicular a un límite es continuo;
2. El componente de\(\textbf{E}\) paralelo a un límite es continuo.

En la Figura\(V.\) 18 estamos mirando el\(D\) -campo y en el\(E\) -campo a medida que cruza un límite en el que\(\epsilon_1 < \epsilon_2\). Tenga en cuenta que\(D_y\) y\(E_x\) son los mismos a cada lado del límite. Esto da como resultado:

\[\frac{\tan \theta_1}{\tan \theta_2}=\frac{\epsilon_1}{\epsilon_2}.\label{5.14.4}\]

\(\text{FIGURE V.18}\)