5.15: Cambio de la distancia entre las placas de un condensador

Si gradualmente aumentas la distancia entre las placas de un condensador (aunque siempre manteniéndolo lo suficientemente pequeño para que el campo sea uniforme) ¿cambia la intensidad del campo o permanece igual? Si el primero, ¿aumenta o disminuye?

Las respuestas a estas preguntas dependen

1. sobre si, por el campo, se refiere al\(E\) campo -campo o al\(D\) campo -;
2. sobre si las placas están aisladas o si están conectadas a los polos de una batería.

Empezaremos suponiendo que las placas estén aisladas.

En este caso la carga en las placas es constante, y también lo es la densidad de carga. La ley de Gauss requiere que se\(D = \sigma\), so that \(D\) mantenga constante. Y, como la permitividad no ha cambiado,\(E\) también se mantiene constante.

La diferencia de potencial a través de las placas es\(Ed\), entonces, a medida que aumenta la separación de placas, por lo que la diferencia de potencial a través de las placas aumenta. La capacitancia disminuye de\(\epsilon\) A/d ₁ a\(\epsilon A/d_2\) y la energía almacenada en el condensador aumenta de\(\frac{Ad_1\sigma^2}{2\epsilon}\text{ to }\frac{Ad_2\sigma^2}{2\epsilon}\). Esta energía deriva del trabajo realizado en la separación de las placas.

Ahora supongamos que las placas están conectadas a una batería de EMF\(V\), con aire o un vacío entre las placas. Al principio, la separación es\(d_1\). Las magnitudes de\(E\) y\(D\) son, respectivamente,\(V/d_1\) y\(\epsilon_0 V/d_1\). Cuando hemos aumentado la separación a\(d_2\), la diferencia de potencial a través de las placas no ha cambiado; sigue siendo el EMF\(V\) de la batería. El campo eléctrico, sin embargo, ahora es solo\(E = V/d_2\) y\(D = \epsilon_0 V/d_2\). Pero la ley de Gauss aún lo dicta\(D = \sigma\), y por lo tanto la densidad de carga, y la carga total en las placas, es menor de lo que era antes. Se ha metido en la batería. Es decir, al hacer el trabajo separando las placas hemos recargado la batería. La energía almacenada en el condensador era originalmente\(\frac{\epsilon_0AV^2}{2d_1}\); ahora es sólo\(\frac{\epsilon_0AV^2}{2d_2}\). Por lo tanto, la energía contenida en el condensador se ha reducido por\(\frac{1}{2}\epsilon_0AV^2\left (\frac{1}{d_1}-\frac{1}{d_2}\right )\).

La carga originalmente retenida por el condensador era\(\frac{\epsilon_0AV}{d_1}\). Después de que la separación de placas se haya incrementado a d ₂ la carga retenida es\(\frac{\epsilon_0AV}{d_1}\). La diferencia,\(\epsilon_0AV\left (\frac{1}{d_1}-\frac{1}{d_2}\right )\), es la carga que ha entrado en la batería. La energía, o trabajo, requerida para forzar esta cantidad de carga en la batería contra su EMF\(V\) es\(\epsilon_0AV^2\left (\frac{1}{d_1}-\frac{1}{d_2}\right )\). La mitad de esto provino de la pérdida de energía retenida por el condensador (ver arriba). La otra mitad presumiblemente provino del trabajo mecánico que hiciste al separar las placas. A ver si podemos verificar esto.

Cuando la separación de placas es\(x\), la fuerza entre las placas es la\(\frac{1}{2}QE\) que es\(\frac{1}{2}\frac{\epsilon_0AV}{x}\cdot \frac{V}{x}\text{ or }\frac{\epsilon_0AV^2}{2x^2}\). El trabajo requerido para aumentar\(x\) de\(d_1\) a\(d_2\) es\(\frac{\epsilon_0AV^2}{2}\int_{d_1}^{d_2}\frac{dx}{x^2}\), que efectivamente lo es\(\frac{1}{2}\epsilon_0AV^2\left (\frac{1}{d_1}-\frac{1}{d_2}\right )\). De esta manera esta cantidad de trabajo mecánico, más una cantidad igual de energía del condensador, ha pasado a recargar la batería. Expresado de otra manera, el trabajo realizado en la separación de las placas equivale al trabajo requerido para cargar la batería menos la disminución de energía almacenada por el condensador.

¡Quizás hemos inventado un cargador de batería (Figura\(V.\) 19)!

\(\text{FIGURE V.19}\)

Cuando la separación de placas es\(x\), la carga almacenada en el condensador es\(Q=\frac{\epsilon_0AV}{x}\). Si\(x\) se incrementa a una tasa\(\dot x\),\(Q\) se incrementará a una tasa\(\dot Q=-\frac{\epsilon_0AV\dot x}{x^2}\). Es decir, el condensador se descargará (porque\(\dot Q\) es negativo), y una corriente\(I=\frac{\epsilon_0AV\dot x}{x^2}\) fluirá en sentido antihorario en el circuito. (Verifique que esta expresión sea dimensionalmente correcta para la actual.)