5.16: Inserción de un dieléctrico en un condensador

Supongamos que comienzas con dos placas separadas por un vacío o por aire, con una diferencia de potencial a través de las placas, y luego insertas un material dieléctrico de permitividad\(\epsilon_0\) entre las placas. ¿Cambia la intensidad del campo o permanece igual? Si el primero, ¿aumenta o disminuye?

La respuesta a estas preguntas depende

1. sobre si, por el campo, se refiere al\(E\) campo -campo o al\(D\) campo -;
2. sobre si las placas están aisladas o si están conectadas a los polos de una batería.

Empezaremos suponiendo que las placas estén aisladas. Ver Figura\(V.\) 20.

\(\text{FIGURE V.20}\)

Dejar\(Q\) ser la carga en las placas, y\(\sigma\) la densidad de carga superficial. Estos son inalterados por la introducción del dieléctrico. La ley de Gauss establece que\(D = \sigma\), así que esto, también, queda inalterado por la introducción del dieléctrico. El campo eléctrico fue, inicialmente,\(E_1=D/\epsilon_0\). Después de la introducción del dieléctrico, es un poco menos, a saber\(E_1=D/\epsilon\).

Tomemos el potencial de la placa inferior para ser cero. Antes de la introducción del dieléctrico, el potencial de la placa superior era\(V_1=\sigma d/\epsilon_0\). Después de la introducción del dieléctrico, es un poco menos, a saber\(V_1=\sigma d/\epsilon\).

¿Por qué el campo eléctrico es\(E\) menor después de la introducción del material dieléctrico? Es porque el material dieléctrico se polariza. Vimos en la Sección 3.6 cómo la materia puede polarizarse. O bien las moléculas con momentos dipolares preexistentes se alinean con el campo eléctrico impuesto, o bien, si no tienen un momento dipolar permanente o si no pueden rotar, se puede inducir un momento dipolar en las moléculas individuales. En cualquier caso, el efecto de la alineación de todos estos dipolos moleculares es que hay un ligero exceso de carga positiva en la superficie del material dieléctrico junto a la placa negativa, y un ligero exceso de carga negativa en la superficie del material dieléctrico junto a la placa positiva. Esto produce un campo eléctrico opuesto a la dirección del campo impuesto, y así el campo eléctrico total se reduce algo.

Antes de la introducción del material dieléctrico, la energía almacenada en el condensador era\(\dfrac{1}{2}QV_1\). Después de la introducción del material, es\(\dfrac{1}{2}QV_2\), que es un poco menos. De esta manera se requerirá trabajo para retirar el material de entre las placas. El condensador vacío tenderá a aspirar el material, así como la varilla cargada en el Capítulo 1 atrajo una bola de médula no cargada.

Ahora supongamos que las placas están conectadas a una batería. (Figura\(V.\) 21)

\(\text{FIGURE V.21}\)

Esta vez la diferencia de potencial permanece constante, y por lo tanto también lo hace el\(E\) -field, que es justo\(V/d\). Pero el\(D\) campo -aumenta de\(\epsilon_0 E\) a\(\epsilon E\), y así, por lo tanto, lo hace la densidad de carga superficial en las placas. Este cargo extra viene de la batería.

La capacitancia aumenta desde\(\dfrac{\epsilon_0A}{d}\text{ to }\dfrac{\epsilon A}{d}\) y la carga almacenada en las placas aumenta desde\(Q_1=\dfrac{\epsilon_0AV}{d}\text{ to }Q_2\dfrac{\epsilon AV}{d}\). La energía almacenada en el condensador aumenta de\(\dfrac{1}{2}Q_1V \text{ to }\dfrac{1}{2}Q_2V\).

La energía suministrada por la batería = la energía vertida en el condensador + la energía requerida para aspirar el material dieléctrico en el condensador:

\[(Q_2-Q_1)V=\dfrac{1}{2}(Q_2-Q_1)V+\dfrac{1}{2}(Q_2-Q_1)V.\nonumber\]

Tendrías que hacer un trabajo para sacar el material del condensador; la mitad del trabajo que haces sería el trabajo mecánico realizado para sacar el material; la otra mitad se usaría para cargar la batería.

En la Sección 5.15 inventé un tipo de cargador de batería. Ahora voy a hacer mi fortuna inventando otro tipo de cargador de batería.

Ejemplo 1.

\(\text{FIGURE V.22}\)

Un condensador está formado por dos placas cuadradas, cada una de dimensiones\(a \times a\), separación\(d\), conectadas a una batería. Hay un medio dieléctrico de permitividad\(\epsilon\) entre las placas. Saco el medio dieléctrico a velocidad\(\dot x\). Calcular la corriente en el circuito a medida que se recarga la batería.

Solución.

Cuando me he movido una distancia\(x\), la capacitancia es

\[\dfrac{\epsilon a(a-x)}{d}+\dfrac{\epsilon_0ax}{d}=\dfrac{\epsilon a^2-(\epsilon -\epsilon_0)ax}{d}.\nonumber \]

La carga retenida por el condensador es entonces

\[Q=\left [ \dfrac{\epsilon a^2-(\epsilon -\epsilon_0)ax}{d} \right ]V.\nonumber \]

Si el dieléctrico se mueve hacia fuera a velocidad\(\dot x\), la carga retenida por el condensador aumentará a una velocidad

\[\dot Q = \dfrac{-(\epsilon-\epsilon_0)a\dot xV}{d}.\nonumber \]

(Eso es negativo, por lo que\(Q\) disminuye.) Por lo tanto, una corriente de esta magnitud fluye en sentido horario alrededor del circuito, hacia la batería. Debe verificar que la expresión tenga las dimensiones correctas para la corriente.

Ejemplo 2.

\(\text{FIGURE V.23}\)

Un condensador consta de dos placas, cada una de área\(A\), separadas por una distancia\(x\), conectadas a una batería de EMF\(V.\) Una copa descansa sobre la placa inferior. La copa se llena gradualmente con un líquido no conductor de permitividad\(\epsilon\), elevándose la superficie a una velocidad\(\dot x\). Calcular la magnitud y dirección de la corriente en el circuito.

Es fácil calcular que, cuando el líquido tiene una profundidad x, la capacitancia del condensador es

\[C=\dfrac{\epsilon\epsilon_0A}{\epsilon d-(\epsilon - \epsilon_0)x}\nonumber\]

y la carga retenida por el condensador es entonces

\[\nonumber Q=\dfrac{\epsilon \epsilon_0AV}{\epsilon d -(\epsilon-\epsilon_0)x}.\]

Si\(x\) está aumentando a una velocidad\(\dot x\), la velocidad a la que\(Q\), la carga en el condensador, está aumentando es

\[\dot Q=\dfrac{\epsilon \epsilon_0(\epsilon-\epsilon_0)AV\dot x}{[\epsilon d-(\epsilon - \epsilon_0)x]^2}.\nonumber \]

Por lo tanto, una corriente de esta magnitud fluye en el circuito en sentido antihorario, drenando la batería. Esta corriente aumenta monótonamente de cero a\(\dfrac{\epsilon(\epsilon-\epsilon_0)AV\dot x}{\epsilon_0 d^2}\).