5.19: Carga de un Capacitor a Través de una Resistencia
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Esta vez, la carga en el condensador va en aumento, por lo que la corriente, tal como se dibuja, lo es\(+\dot Q\).
\(\text{FIGURE V.25}\)
Por lo tanto
\[V-\dot QR-\frac{Q}{C}=0\label{5.19.1}\]
De dónde:
\[\int_0^Q \frac{dQ}{CV-Q}=\frac{1}{RC}\int_0^t dt.\label{5.19.2}\]
Recuerda que, en cualquier finito\(t\), \(Q\) is less than its asymptotic value \(CV\), and you want to keep the denominator of the left hand integral positive.
Al integrar la Ecuación\(\ref{5.19.2}\), obtenemos
\[Q=CV \left ( 1-e^{-t/(RC)} \right ).\label{5.19.3}\]
Así, la carga en el condensador se aproxima asintóticamente a su valor final\(CV\), alcanzando 63% (1 - e - 1) del valor final en tiempo\(RC\) y la mitad del valor final en el tiempo\(RC \ln 2 = 0.6931\, RC\).
La diferencia de potencial a través de las placas aumenta a la misma velocidad. La diferencia de potencial no puede cambiar instantáneamente en ningún circuito que contenga capacitancia.
¿Cómo cambia la corriente con el tiempo? Esto se encuentra diferenciando la Ecuación\ ref {5.19.3} con respecto al tiempo, para dar
\[I=\frac{V}{R}e^{-t/(RC)}.\]
Esto sugiere que la corriente crece instantáneamente de cero a tan pronto\(V/R\) como se cierra el interruptor, y luego decae exponencialmente, con constante de tiempo\(RC\), a cero. ¿Esto es realmente posible? Es posible en principio si la inductancia (ver Capítulo 12) del circuito es cero. Pero la inductancia de cualquier circuito cerrado no puede ser exactamente cero, y el circuito, como dibujado sin ninguna inductancia lo que sea, no es alcanzable en ningún circuito real, y así, en un circuito real, no habrá un cambio instantáneo de corriente. La Sección 10.15 se ocupará del crecimiento de la corriente en un circuito que contenga tanto capacitancia como inductancia así como resistencia.
Consideraciones energéticas
Cuando el condensador está completamente cargado, la corriente ha caído a cero, la diferencia de potencial a través de sus placas es\(V\) (el EMF de la batería), y la energía almacenada en el condensador (ver Sección 5.10) es
\[\frac{1}{2}CV^2=\frac{1}{2}QV.\]
Pero la energía perdida por la batería lo es\(QV\). Esperemos que lo restante\(\frac{1}{2}QV\) sea calor generado en y disipado por la resistencia. La velocidad a la que el calor es generado por la corriente en una resistencia (ver Capítulo 4 Sección 4.6) es\(I^2R\). En este caso, según el párrafo anterior, el actual en el momento\(t\) es
\[I=\frac{V}{R}e^{-t/(RC)},\]
por lo que el calor total generado en la resistencia es
\[\frac{V^2}{R}\int_0^{\infty}e^{-2t/(RC)}=\frac{1}{2}CV^2,\]
así que todo está bien. La energía perdida por la batería se comparte por igual entre\(R\) y\(C\).
Lámpara de Neón
Aquí hay una manera de hacer que una lámpara de neón destelle periódicamente.
En la Figura\(V.\) 25\(\frac{1}{2}\) (perdón por la fracción — ¡me deslizé la Figura como una ocurrencia de último momento!) , lo que parece algo así como una cara feliz a la derecha es un tubo de descarga; el punto en su interior indica que no es un vacío completo por dentro, sino que tiene un poco de gas en su interior.
\(\text{FIGURE V.25}\frac{1}{2}\)
Se descargará cuando la diferencia de potencial a través de los electrodos sea mayor que un cierto umbral. Cuando se aplica un campo eléctrico a través del tubo, los electrones y los iones positivos se aceleran, pero pronto se ralentizan por colisiones. Pero, si el campo es suficientemente alto, los electrones e iones tendrán suficiente energía en la colisión para ionizar los átomos con los que chocan, por lo que se producirá una descarga en cascada. La diferencia de potencial aumenta exponencialmente en una\(RC\) escala de tiempo hasta que alcanza el valor umbral, y el tubo de neón se descarga repentinamente. Entonces vuelve a empezar de nuevo.
Existe un problema similar que involucra un inductor en el Capítulo 10, Sección 10.12.