5.21: Más sobre E, D, P, etc

Voy a revisar algunas cosas que ya hemos cubierto antes de continuar. El campo eléctrico\(\textbf{E}\) entre las placas de un condensador paralelo plano es igual al gradiente de potencial, es decir, la diferencia de potencial entre las placas dividida por la distancia entre ellas.

El campo eléctrico\(\textbf{D}\) entre las placas de un condensador paralelo plano es igual a la densidad de carga superficial en las placas.

Supongamos que al principio no hay nada entre las placas. Si ahora empujas un material dieléctrico isotrópico* de permitividad relativa\(\epsilon_r\) entre las placas, ¿qué sucede? Respuesta: Si las placas están aisladas\(\textbf{D}\) permanece igual mientras que\(\textbf{E}\) (y de ahí la diferencia de potencial a través de las placas) se reduce en un factor\(\epsilon_r\). Si por otro lado las placas están conectadas a una batería, la diferencia de potencial y por lo tanto\(\textbf{E}\) permanece igual mientras\(\textbf{D}\) (y de ahí la densidad de carga en las placas) aumenta en un factor\(\epsilon_r\).

Aquí te habrás dado cuenta de la palabra isotrópico. Refiérase a la Sección 1.7 para una breve mención de un medio anisotrópico, y el concepto de permitividad como cantidad de tensor. Aquí no me preocupa este aspecto.

En cualquier caso, el bloque de material dieléctrico se polariza. Desarrolla una densidad de carga en las superficies que colindan con las placas. El bloque de material desarrolla un momento dipolar, y el momento dipolar dividido por el volumen del material —es decir, el momento dipolar por unidad de volumen— es la polarización\(\textbf{P}\) del material. \(\textbf{P}\)también es igual a\(\textbf{D} − \epsilon_0\textbf{E}\) y, por supuesto, a\(\epsilon\textbf{E} − \epsilon_0\textbf{E}\). La relación entre la polarización\(\textbf{P}\) resultante y el campo polarizador\(\epsilon_0\textbf{E}\) se denomina susceptibilidad eléctrica\(\chi\) del medio. Merecerá la pena pasar unos momentos convenciéndose de estas definiciones y conceptos que\(\epsilon = \epsilon_0(1 + \chi)\text{ and }\chi = \epsilon_r − 1\), donde\(\epsilon_r\) está la permitividad relativa adimensional (o constante dieléctrica)\(\epsilon / \epsilon_0\).

¿Qué sucede físicamente dentro del medio cuando se polariza? Una posibilidad es que las moléculas individuales, si son moléculas asimétricas, ya posean un momento dipolo permanente. La molécula de dióxido de carbono, que en su estado fundamental es lineal y simétrica\(\text{O}=\text{C}=\text{O}\),, no tiene un momento dipolar permanente. Las moléculas simétricas como\(\text{CH}_4\), y los átomos individuales como\(\text{He}\), no tienen un momento dipolar permanente. La molécula de agua tiene algunos elementos de simetría, pero no es lineal, y sí tiene un momento dipolar permanente, de aproximadamente\(6\times 10^{−30}\text{ C m}\), dirigido a lo largo de la bisectriz del ángulo HOH y lejos del átomo de O. Si las moléculas tienen un momento dipolar permanente y son libres de rotar (como, por ejemplo, en un gas) tenderán a girar en la dirección del campo aplicado. (Voy a discutir esa frase “tienden a” en un momento.) Así el material se polariza.

Una molécula como\(\text{CH}_4\) es simétrica y no tiene momento dipolar permanente, pero, si se coloca en un campo eléctrico externo, la molécula puede distorsionarse desde su perfecta forma tetraédrica con ángulos limpios de 109º, debido a que cada par de\(\text{CH}\) átomos tiene un momento dipolar. Así, la molécula adquiere un momento dipolar inducido, y el material en su conjunto se polariza. La relación entre el momento dipolar inducido y\(\textbf{p}\) la\(\textbf{E}\) polarizabilidad\(α\) del campo polarizador de la molécula. Revise la Sección 3.6 para obtener más información sobre esto.

¿Qué tal un solo átomo, como\(\text{Kr}\)? Incluso eso puede adquirir un momento dipolar. Si bien no hay enlaces que doblar, bajo la influencia de un campo eléctrico una preponderancia de electrones migrará a un lado del átomo, y así el átomo adquiere un momento dipolar. El mismo fenómeno se aplica, por supuesto, a una molécula como es\(\text{CH}_4\) además de la flexión del enlace ya mencionada.

Consideremos la situación de un material dieléctrico en el que las moléculas tienen un momento dipolar permanente y están libres (como en un gas, por ejemplo) para rotar. Supondremos que, al menos en un campo polarizador débil, el momento dipolar permanente es significativamente mayor que cualquier momento dipolo inducido, por lo que descuidaremos a este último. Nosotros hemos dicho que, bajo la influencia de un campo polarizador, el dipolo permanente tenderá a alinearse con el campo. Pero también tienen que contender con los constantes empujones y colisiones entre moléculas, que golpean sus momentos dipolares sin cables, por lo que no pueden inmediatamente todos alinearse exactamente con el campo. Podríamos imaginar que el material puede polarizarse bastante fuertemente si la temperatura es bastante baja, pero solo relativamente débilmente polarizada a temperaturas más altas. ¿Nos atrevemos incluso a esperar que podamos predecir la variación de la polarización\(P\) con la temperatura\(T\)? ¡Vamos a probar!

Recordamos (Sección 3.4) que la energía potencial\(U\) de un dipolo, cuando forma un ángulo\(θ\) con el campo eléctrico, es

\[U = − pE \cos θ = − \textbf{p}\cdot \textbf{E}.\]

La energía de un dipolo cuya dirección hace un ángulo de entre\(θ \text{ and }θ + dθ\) con el campo será entre\(U \text{ and }U + dU\), dónde\(dU = pE\sin θdθ\). Lo que sucede después requiere familiaridad con la ecuación de Boltzmann para la distribución de energías en una mecánica estadística. Ver por ejemplo mis notas de Atmósferas Estelares, Capítulo 8, Sección 8.4. La fracción de moléculas que tienen energías entre\(U \text{ and }U + dU\) ellas será, siguiendo la ecuación de Boltzmann,

\[\dfrac{e^{-U/(kT)}dU}{\int_{-pE}^{+pE}e^{-U/(kT)dU}},\]

(Precaución: Recuerda que aquí estoy usando\(U\) para energía potencial, y\(E\) para campo eléctrico).

Es decir, la fracción de moléculas que hacen ángulos de entre\(θ \text{ and }θ + dθ\) con el campo es

\[\dfrac{pEe^{pE\cos θ /(kT)}\sin θdθ}{\int_0^\pi pEe^{pE\cos θ /(kT)}\sin θdθ}=\dfrac{e^{pE\cos θ/(kT)}\sin θdθ}{\int_0^\pi e^{pE\cos θ /(kT)}\sin θdθ}.\]

El componente en la dirección\(\textbf{E}\) del momento dipolar de esta fracción de las moléculas es

\[\dfrac{p\int_0^\pi e^{pE\cos θ /(kT)}\sin θ \cos θdθ}{\int_0^\pi e^{pE\cos θ /(kT)}\sin θdθ},\]

y esta expresión representa el momento dipolo inducido en la dirección del campo de toda la muestra, al que llamaré\(p_s\). La polarización de la muestra sería ésta dividida por su volumen.

Let

\[x=\dfrac{pE}{kT}\cos θ = a\cos θ.\]

Entonces la expresión para el momento dipolar de toda la muestra se convierte (se necesitan algunos cuidados):

\[p_s = p \times \dfrac{\int_{-a}^{+a}xe^x\,dx}{a\int_{-a}^{+a}e^x\,dx}=p\times \left ( \dfrac{e^a+e^{-a}}{e^a-e^{-a}}-\dfrac{1}{a}\right ).\]

La expresión entre paréntesis se llama la función Langevin, y primero se derivó en conexión con la teoría del paramagnetismo. Si su calculadora o computadora admite la función de cóth hiperbólico, se calcula más fácilmente como coth\(a − 1/a\). Si no soporta\(\coth\), calcule como

\[\dfrac{1+b}{1-b}-\dfrac{1}{a}\]

donde\(b=e^{-2a}\). En cualquier caso se trata de una función bastante interesante, incluso desafiante. Llamemos a la expresión entre paréntesis\(f(a)\). ¿Cómo se vería la función que estabas para trazar\(f(a) \text{ versus }a\)? El derivado con respecto a\(a\) es

\[\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{4b}{(1-b)^2}.\]

Es fácil ver que, como\(a→\infty\), la función se acerca al 1 y su derivada, o pendiente, se acerca a cero. Pero, ¿en qué se encuentran la función y su derivada (pendiente)\(a = 0\)? Tal vez encuentres eso un poco de desafío. La respuesta es que, como\(a→0\), la función se acerca a cero y su derivada se acerca a 1/3. (De hecho, para pequeños a, la función Langevin es aproximadamente\(\dfrac{a}{3(1-a)}\), y para muy pequeños\(a\), lo es\(\dfrac{1}{3}a\).) Así, para pequeños\(p_s\) enfoques a (es decir, temperaturas calientes)\(p\times kT \dfrac{pE}{3kT}\) y no superiores. La función Langevin se ve así:

\(\text{FIGURE V.28}\)

Puede ser más interesante ver directamente cómo varía el momento dipolar de la muestra con la temperatura. Si expresamos el momento dipolar de muestra ps en unidades del momento dipolo molecular\(p\), y la temperatura en unidades de\(pE/k\), entonces la ecuación 5.22.6 se convierte en

\[p_s=\dfrac{e^{1/T}+e^{-1/T}}{e^{1/T}-e^{-1/T}}-T=\coth (1/T)-T,\]

y eso se ve así

\(\text{FIGURE V.29}\)

La contribución a la polarización de una muestra desde los otros dos mecanismos, a saber, la flexión de enlaces y el empuje de electrones hacia un lado, es independiente de la temperatura. Así, si encontramos que la polarización es dependiente de la temperatura, esto nos habla de la existencia de un momento dipolar permanente, como, por ejemplo, en el cloruro de metilo\(\text{CH}_3\text{Cl}\) y\(\text{H}_2\text{O}\). En efecto, la dependencia de la temperatura de la polarización es parte de la evidencia que nos dice que la molécula de agua es no lineal. Para pequeños\(a\) (recordemos eso\(a=\dfrac{pE}{kT}\)), la polarización del material es\(\dfrac{pE}{3kT}\), y así una gráfica de la polarización versus\(1/T\) será una línea recta a partir de la cual se puede determinar el momento dipolar de la molécula — cuanto mayor sea la pendiente, mayor será el momento dipolar. Por otro lado, si la polarización es independiente de la temperatura, entonces la molécula es simétrica, como el metano\(\text{CH}_4\) y\(\text{OCO}\). En efecto, la independencia de la polarización sobre la temperatura es parte de la evidencia que nos dice que\(\text{CO}_2\) es una molécula lineal.