5.22: Material dieléctrico en un campo eléctrico alterno.

Hemos visto que, cuando ponemos un material dieléctrico en un campo eléctrico, éste se polariza, y el\(\textbf{D}\) campo es ahora\(\epsilon\textbf{E}\) en lugar de meramente\(\epsilon_0\textbf{E}\). Pero, ¿cuánto tiempo se tarda en polarizarse? ¿Sucede instantáneamente? En la práctica hay un enorme rango en los tiempos de relajación. (Podemos definir un tiempo de relajación como el tiempo que tarda el material en alcanzar cierta fracción —tal como, quizás\(1-e^{-1}=63\) por ciento, o cualquier fracción que pueda ser conveniente en un contexto particular— de su polarización final.) El tiempo de relajación puede ser prácticamente instantáneo, o puede ser de muchas horas.

Como consecuencia del tiempo de relajación finito, si ponemos un material dieléctrico en campo eléctrico oscilante\(E = \hat E \cos \omega t\) (por ejemplo, si la luz pasa a través de un trozo de vidrio), habrá un retraso de fase de\(D \text{ behind }E\). \(D\)variará como\(D=\hat D \cos (\omega t-\delta)\). Dicho de otra manera, si el\(E\) -campo es\(E=\hat E e^{i\omega t}\), el\(D\) -campo será\(D=\hat D e^{i(\omega t -\delta)}\). Entonces\(\frac{D}{E}=\frac{\hat D}{\hat E}e^{-i\delta}=\epsilon (\cos \delta -i\sin \delta)\). Esto se puede escribir

\[D=\epsilon ^*E,\]

donde\(\epsilon^* = \epsilon^\prime − i\epsilon^{\prime\prime} \text{ and }\epsilon^\prime= \epsilon \cos \delta \text{ and }\epsilon^{\prime\prime} = \epsilon \sin \delta \).

La permitividad compleja es solo una forma de expresar la diferencia de fase entre\(D \text{ and }E\). La magnitud, o módulo\(\epsilon^* \text{ is }\epsilon\), de la permitividad ordinaria en un campo estático.

Imaginemos que tenemos un material dieléctrico entre las placas de un condensador, y que se está aplicando una diferencia de potencial alterno a través de las placas. En algún instante la densidad de carga\(\sigma\) en las placas (que es igual al\(D\) campo -) está cambiando a una velocidad\(\dot \sigma\), que también es igual a la velocidad\(\dot D\) de cambio del\(D\) campo -), y la corriente en el circuito es\(A\dot D\), donde\(A\) está el área de cada placa. La diferencia de potencial a través de las placas, por otro lado, es\(Ed\), dónde\(d\) está la distancia entre las placas. La tasa instantánea de disipación de energía en el material es\(AdE\dot D\), o, digamos, la tasa instantánea de disipación de energía por unidad de volumen del material es\(E\dot D\).

Supongamos\(E = \hat E \cos \omega t\) y\(D =\hat D \cos (\omega t − \delta )\) eso para que

\[\dot D = -\hat D \omega \sin (\omega t -\delta ) =-\hat D \omega (\sin \omega t \cos \delta -\cos \omega t \sin \delta ).\nonumber \]

La disipación de energía, en volumen unitario, en un ciclo (o periodo\(2π/\omega\)) completo es la integral, con respecto al tiempo, de\(E\dot D\) desde\(0 \text{ to }2π/\omega\). Es decir,

\[\hat E \hat D \omega \int_0^{2\pi/\omega}\cos \omega t (\sin \omega t \cos \delta -\cos \omega t \sin \delta )\,dt.\nonumber\]

La primera integral es cero, por lo que la disipación de energía por unidad de volumen por ciclo es

\[\nonumber \hat E \hat D \omega \sin \delta \int_0^{2\pi/\omega}\cos^2 \omega t\,dt = \pi \hat E \hat D \omega \sin \delta .\]

Dado que la pérdida de energía por ciclo es proporcional a\(\sin \delta,\, \sin \delta\) se denomina factor de pérdida. (A veces el factor de pérdida se da como\(\tan \delta\), aunque esto es una aproximación sólo para pequeños ángulos de pérdida.)