6.12: Condiciones de contorno

Recordamos de la Sección 5.14 que, en un límite entre dos medios de diferentes permitividades, el componente normal\(\textbf{D}\) y el componente tangencial de\(\textbf{E}\) son continuos, mientras que el componente tangencial de\(\textbf{D}\) es proporcional a\(\epsilon\) y el normal componente de\(\textbf{E}\) es inversamente proporcional a\(\epsilon\). Las líneas de fuerza eléctrica se refractan en un límite de tal manera que

\[\frac{\tan \theta_1 }{\tan \theta_2}=\frac{\epsilon_1}{\epsilon_2}.\]

La situación es similar con los campos magnéticos. Es decir, en un límite entre dos medios de diferentes permeabilidades, el componente normal\(\textbf{B}\) y el componente tangencial de\(\textbf{H}\) son continuos, mientras que el componente tangencial de\(\textbf{B}\) es proporcional a m y el componente normal de\(\textbf{H}\) es inversamente proporcional a \(\mu\). Las líneas de fuerza magnética se refractan en un límite de tal manera que

\[\frac{\tan \theta_1 }{\tan \theta_2}=\frac{\mu_1}{\mu_2}.\]

\(\text{FIGURE VI.16}\)

La configuración del campo magnético dentro de un solenoide infinitamente largo con materiales de diferentes permeabilidades necesita algunos cuidados. Nos guiaremos por la ley Biot-Savart, es decir\(B=\frac{\mu I \,ds\,\sin \theta}{4\pi r}\), y la ley de Ampère, a saber, que la línea integral de\(\textbf{H}\) alrededor de un circuito cerrado es igual a la corriente cerrada. También recordamos que el campo magnético dentro de un solenoide infinito que contiene un solo material isotrópico homogéneo es uniforme, es paralelo al eje del solenoide, y está dado por\(H=nI\) o\(B=\mu nI\).

El caso de dos materiales más fácil de considerar es aquel en el que los dos materiales están dispuestos en paralelo como en la Figura VI.17.

\(\text{FIGURE VI.17}\)

Se puede ver aplicando la ley de Ampère a cada uno de los dos circuitos indicados por líneas discontinuas que el\(H\) campo -campo es el mismo en cada material y es igual a\(nI\), y es uniforme en todo el solenoide. Se dirige paralelo al eje del solenoide. Es decir, el componente tangencial de\(\textbf{H}\) es continuo. Los\(B\) -campos en los dos materiales, sin embargo, son diferentes, estando\(\mu_1 nI\) en el material superior y\(\mu_2 nI\) en el inferior.

Ahora nos fijamos en la situación en la que los dos materiales están en serie, como en la Figura VI.18.

Utilizaremos una coordenada horizontal\(x\), que es cero en el límite, negativa a la izquierda del mismo y positiva a la derecha del mismo.

\(\text{FIGURE VI.18}\)

Podríamos en un principio sentirnos tentados a suponer eso\(B=\mu_1 nI\) a la izquierda del límite y\(B=\mu_2 nI\) a la derecha del límite, mientras que, por una aplicación de la ley de Ampère alrededor de cualquiera de los circuitos discontinuos señalados,\(H=nI\) en ambos lados. Aunque esto sea tentador, no es correcto, y veremos por qué en breve.

El\(B\) -campo es de hecho\(\mu_1 nI\) un largo camino a la izquierda del límite, y\(\mu_2 nI\) un largo camino a la derecha. Sin embargo, cerca del límite se encuentra entre estos valores limitantes. Podemos calcular el\(B\) campo -en el eje en el límite por el mismo método que usamos en la Sección 6.8. Ver especialmente la ecuación 6.8, que, con la geometría actual, se convierte

\[B=\frac{1}{2}\mu_1 nI \int_{-\pi/2}^{0}\cos \theta \, d\theta + \frac{1}{2}\mu_2 nI \int_{0}^{\pi /2}\cos \theta \, d\theta .\label{6.12.1}\]

No debería sorprendernos que esto llegue a

\[B=\frac{1}{2}(\mu_1 + \mu_2 ) nI.\label{6.12.2}\]

Es lo mismo justo a la izquierda del límite y justo a la derecha.

El\(H\) campo, sin embargo, cae repentinamente en el límite de\(\frac{1}{2}\left ( 1+\frac{\mu_2}{\mu_1}\right ) nI\) inmediato a la izquierda del límite\(\frac{1}{2}\left ( 1+\frac{\mu_1}{\mu_2}\right ) nI\) e inmediatamente a la derecha del límite.

En todo caso, el resultado muy importante de estas consideraciones es

• En un límite entre dos medios de diferentes permeabilidades, el componente paralelo de\(\textbf{H}\) es continuo y el componente perpendicular de\(\textbf{B}\) es continuo.

Compara y contrasta esto con la caja eléctrica:

• En un límite entre dos medios de diferentes permitividades, el componente paralelo de\(\textbf{E}\) es continuo, y el componente perpendicular de\(\textbf{D}\) es continuo.