9.3: Conductor largo, recto y portador de corriente

A modo de ejemplo, usemos la expresión\(\textbf{dA} = \frac{\mu I}{ 4 \pi r}\textbf{ds}\), para calcular el potencial del vector magnético en las proximidades de un conductor largo, recto, portador de corriente (¡“alambre” para abreviar!). Supondremos que el cable se encuentra a lo largo del\(z\) eje -eje, con la corriente fluyendo en la dirección de positivo\(z\). Trabajaremos en coordenadas cilíndricas, y los símbolos, \(\hat{\rho},\,\hat{\phi},\,\hat{\textbf{z}}\)denotarán los vectores ortogonales unitarios. Después de haber calculado\(\textbf{A}\), intentaremos calcular su rizo para darnos el campo magnético\(\textbf{B}\). Ya sabemos, claro, que para un cable recto el campo es\(\textbf{B}=\frac{\mu I}{2\pi \rho}\) \(\hat{\phi}\), así que esto servirá como un chequeo de nuestro álgebra.

Considera un elemento\(\hat{\textbf{z}}\,dz\) en el cable a una altura\(z\) por encima del\(xy\) plano. (La longitud de este elemento es\(dz\); el vector unitario\(\hat{\textbf{z}}\) solo indica su dirección). Considere también un punto P en el\(xy\) plano -a una\(\rho\) distancia del cable. La distancia de P del elemento\(dz\text{ is }\sqrt{\rho^2 +z^2}\). Por lo tanto, la contribución al potencial de vector magnético es

\[\textbf{dA}=\hat{\textbf{z}}\frac{\mu I}{4\pi}\cdot \frac{dz}{(\rho^2+z^2)^{1/2}}.\label{9.3.1}\]

Por lo tanto, el potencial total del vector magnético es

\[\textbf{A}=\hat{\textbf{z}}\frac{\mu I}{2\pi}\int_0^\infty \frac{dz}{(\rho^2+z^2)^{1/2}}.\label{9.3.2}\]

Esta integral es infinita, lo que al principio puede parecer desconcertante. Por lo tanto, primero calculemos el potencial de vector magnético para una sección finita\(2l\) de longitud del cable. Para esta sección, tenemos

\[\textbf{A}=\hat{\textbf{z}}\frac{\mu I}{2\pi}\cdot \int_0^l \frac{dz}{(\rho^2+z^2)^{1/2}}.\label{9.3.3}\]

Para integrar esto, vamos\(z = \rho \tan θ\), de dónde\(\textbf{A}=\hat{\textbf{z}}\frac{\mu I}{2\pi}\cdot \int_0^\alpha \sec \theta \, d\theta\) dónde\(l = \rho \tan \alpha\). De esto obtenemos\(\textbf{A}=\hat{\textbf{z}}\frac{\mu I}{2\pi}\cdot \ln (\sec \alpha +\tan \alpha )\), de donde

\[\label{9.3.4}\textbf{A}=\hat{\textbf{z}}\frac{\mu I}{2\pi}\cdot \ln \left ( \frac{\sqrt{l^2+\rho^2}+l}{\rho}\right ) .\]

Para\(l >> \rho\) esto se convierte

\[\label{9.3.5}\textbf{A}=\hat{\textbf{z}}\frac{\mu I}{2\pi}\cdot \ln \left ( \frac{2l}{\rho}\right ) =\hat{\textbf{z}}\frac{\mu I}{2\pi}(\ln 2l -\ln \rho ).\]

Así vemos que el potencial de vector magnético en las proximidades de un cable recto es un campo vectorial paralelo al alambre. Si el cable es de longitud infinita, el potencial del vector magnético es infinito. Para una longitud finita, el potencial viene dado exactamente por la Ecuación\ ref {9.3.4}, y, muy cerca de un cable largo, el potencial viene dado aproximadamente por la Ecuación\ ref {9.3.5}.

Ahora usemos la Ecuación\ ref {9.3.5} junto con\(\textbf{B} = \textbf{curl A}\), para ver si podemos encontrar el campo magnético\(\textbf{B}\). Tendremos que usar la expresión for\(\textbf{curl A}\) en coordenadas cilíndricas, que es

\[\label{9.3.6}\textbf{curl A} = \left ( \frac{1}{\rho}\frac{∂A_z}{∂\phi}-\frac{∂A_\phi}{∂z}\right ) \hat{\boldsymbol{\rho}}+\left ( \frac{∂A_\rho}{∂z}-\frac{∂A_z}{∂\rho}\right ) \hat{\boldsymbol{\phi}}+\frac{1}{\rho}\left ( A_\phi +\rho \frac{∂A_\phi}{∂\rho}-\frac{∂A_\rho}{∂\phi }\right ) \hat{\textbf{z}}.\]

En nuestro caso, solo\(\textbf{A}\) tiene un\(z\) -componente, por lo que esto se simplifica mucho:

\[\label{9.3.7}\textbf{curl A}=\frac{1}{\rho}\frac{∂A_z}{∂\phi}\hat{\boldsymbol{\rho}}-\frac{∂A_z}{∂\rho}\hat{\boldsymbol{\phi}}.\]

Y como el\(z\) -componente de\(\textbf{A}\) depende sólo de\(\rho\), el cálculo se vuelve trivial, y obtenemos, como se esperaba

\[\label{9.3.8}\textbf{B}=\frac{\mu I}{2\pi \rho }\hat{\boldsymbol{\phi}}.\]

Este es un resultado aproximado para muy cerca de un cable largo, pero es exacto para cualquier distancia para un cable infinito. Esto puede parecerte como un palaver largo para derivar la Ecuación\ ref {9.3.8} — pero el objeto del ejercicio no era derivar la Ecuación\ ref {9.3.8} (que es trivial del teorema de Ampère), sino derivar la expresión para\(\textbf{A}\). Calcular\(\textbf{B}\) posteriormente fue sólo para tranquilizarnos que nuestro álgebra era correcto.