9.4: Solenoide Largo

Coloquemos un solenoide infinitamente largo de$n$ giros por unidad de longitud para que su eje coincida con el$z$ -eje de coordenadas, y la corriente$I$ fluya en el sentido de aumentar$\phi$. En ese caso, ya sabemos que el campo dentro del solenoide es uniforme y está$\mu\, n\, I\, \hat{\textbf{z}}$ dentro del solenoide y cero afuera. Dado que el campo solo tiene un$z$ componente, el potencial vectorial$\textbf{A}$ puede tener solo un componente$\phi$ -.

Supondremos que el radio del solenoide es$a$. Ahora considere un círculo de radio$r$ (menor que$a$) perpendicular al eje del solenoide (y por lo tanto al campo$\textbf{B}$). El flujo magnético a través de este círculo (es decir, la integral de la superficie$\textbf{B}$ a través del círculo) es$\pi r^2B = \pi r^2 nI$. Ahora, como todos saben, la integral de superficie de un campo vectorial a través de una curva cerrada es igual a la integral de línea de su rizo alrededor de la curva, y esto es igual a$2\pi r A_\phi$. Así, dentro del solenoide el potencial del vector es

$$\textbf{A}=\frac{1}{2}\mu n r I \hat{\boldsymbol{\phi}}.\label{9.4.1}$$

Se deja al lector argumentar que, fuera del solenoide$(r > a)$, el potencial del vector magnético es

$$\textbf{A}=\frac{\mu na^2 I}{2r}\hat{\boldsymbol{\phi}}.$$