10.6: Alimentación de CA
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Cuando una corriente I fluye a través de una resistencia\(R\), la tasa de disipación de la energía eléctrica como el calor es\(I R^2\). Si\(V = \hat{V} \sin \omega t \) se aplica una diferencia de potencial alterno a través de una resistencia, entonces una corriente alterna\(I = \hat{I} \sin \omega t \) fluirá a través de ella, y la velocidad a la que se disipa la energía como calor también cambiará periódicamente. De interés es la tasa promedio de disipación de energía eléctrica como calor durante un ciclo completo de periodo\(P = 2\pi /\omega\).
Let\(W\) = tasa instantánea de disipación de energía, y\(\overline W\) = tasa promedio a lo largo de un ciclo de periodo\(P = 2π /\omega\). Entonces
\[\begin{align} \overline W P = \int_0^P W\, dt &= R\int_0^P I^2\,dt \\[5pt] &= R\hat{I}^2\int_0^P \sin^2 \omega t\,dt \\[5pt] &= \dfrac{1}{2}R\hat{I}^2\int_0^P (1-\cos 2\omega t)\,dt \\[5pt] &= \dfrac{1}{2}R\hat{I}^2 \left[t-\dfrac{1}{2\omega}\sin^2 \omega t \right]_0^{P=2\pi/\omega } \\[5pt] &= \dfrac{1}{2}R\hat{I}^2 P.\label{10.6.1} \end{align}\]
Así
\[\overline W = \frac{1}{2}R\hat{I}^2\label{10.6.2}\]
La expresión\(\frac{1}{2}\hat{I}^2\) es el valor medio de\(I^2\) más de un ciclo completo. Su raíz cuadrada\(\hat{I}/\sqrt{2}=0.707\hat{I}\) es el valor medio cuadrado de la raíz de la corriente,\(I_{RMS}\). Así, la tasa promedio de disipación de la energía eléctrica es
\[\label{10.6.3}\overline W = RI_{RMS}^2.\]
Así mismo, el RMS EMF (perdón todas las abreviaturas) a lo largo de un ciclo completo es\(\hat{V}/\sqrt{2}\).
A menudo, cuando se cotiza una corriente o voltaje de CA, es el valor RMS el que se entiende en lugar del valor pico. Te recomiendo que por escrito o conversación siempre dejes claro explícitamente a qué te refieres.
También es de interés el voltaje medio inducido\(\overline V\) a lo largo de medio ciclo. (A lo largo de un ciclo completo, el voltaje medio es, por supuesto, cero). Tenemos
\[\label{10.6.4}\overline V P/2=\int_0^{P/2}V\,dt=\hat{V}\int_0^{P/2}\sin \omega t\,dt = \dfrac{\hat{V}}{\omega} \left[\cos \omega t\right]_{\frac{P}{2}=\frac{\pi}{2}}^0 = \dfrac{\hat{V}}{\omega}(1-\cos \pi)=\dfrac{2\hat{V}}{\omega}.\]
Recordando eso\(P = 2π /\omega\), vemos que
\[\label{10.6.5}\overline V = \dfrac{2\hat{V}}{\pi}=0.6366\hat{V} = \dfrac{2\sqrt{2}V_{RMS}}{\pi}=0.9003 V_{RMS}.\]