10.7: Motores Lineales y Generadores

La mayoría (¡pero no todos!) los motores y generadores reales son, por supuesto, rotativos. En esta sección voy a describir motores y generadores lineales altamente idealizados e imaginarios, sólo porque la geometría es más simple que para los motores rotativos, y es más fácil explicar ciertos principios. Seguiremos con los motores rotativos.

En la Figura X.7 comparo un motor y un generador. En ambos casos se supone que hay un campo magnético externo (de algún imán externo) dirigido lejos del lector. Una varilla de metal descansa sobre un par de rieles conductores.

\(\text{FIGURE X.7}\)

En el motor, se conecta una batería en el circuito, haciendo que una corriente fluya en el sentido de las agujas del reloj alrededor del circuito. La interacción entre la corriente y el campo magnético externo produce una fuerza sobre la varilla, moviéndola hacia la derecha.

En el generador, la varilla se mueve hacia la derecha por alguna fuerza aplicada externamente, y se induce una corriente en sentido antihorario. Si la B dentro del círculo representa una bombilla, una corriente fluirá a través de la bombilla y la bombilla se encenderá.

Supongamos que los rieles son lisos y sin fricción, y supongamos que, en el motor, la varilla no está tirando de ningún peso. Es decir, supongamos que no hay carga mecánica en el motor. ¿Qué tan rápido se moverá la varilla? Dado que hay una fuerza moviendo la varilla hacia la derecha, ¿seguirá acelerando indefinidamente hacia la derecha, sin límite a su velocidad eventual? No, esto no es lo que pasa. Cuando el interruptor se cierra por primera vez y la varilla está estacionaria, fluirá una corriente, dada por\(E = IR\), donde\(E\) está el EMF de la batería y\(R\) es la resistencia total del circuito. Sin embargo, cuando la varilla ha alcanzado una velocidad\(v\), el área del circuito está aumentando a una velocidad\(av\), y se induce una contraEMF (que se opone a la EMF de la batería), de magnitud\(avB\), por lo que la EMF neta en el circuito es ahora\(E-avB\) y la corriente se reduce correspondientemente de acuerdo con

\[\label{10.7.6}E-avB=IR.\]

Finalmente, la varilla alcanza una velocidad límite de\(E / (aB)\), momento en el que no se está tomando más corriente de la batería, y la varilla (deslizándose como está en rieles sin fricción sin carga mecánica) luego obedece la primera ley de movimiento de Newton, es decir, continuará en su estado de movimiento uniforme, porque no las fuerzas no están actuando sobre ello.

Problema 1. Demostrar que la velocidad aumenta con el tiempo según

\[\label{10.7.7}v=\frac{E}{aB}\left ( 1- \text{exp}\left ( -\frac{(aB)^2t}{mR}\right ) \right ),\]

donde\(m\) esta la masa de la varilla.

Problema 2. Demostrar que el tiempo para que la varilla alcance la mitad de su velocidad máxima es

\[\label{10.7.8}t_{1/2}=\frac{mR\ln 2}{(aB)^2}.\]

Problema 3. Supongamos que\(E = 120\text{ V},\, a = 1.6\text{ m} ,\, m = 1.92\text{ kg and }R = 4 \Omega\). Si la varilla alcanza una velocidad de\(300\text{ m s}^{−1}\text{ in }300\text{ s}\), ¿cuál es la fuerza del campo magnético?

Voy a dar soluciones a estos problemas al final de esta sección. Hasta entonces — sin asomarse.

En un motor rotativo sin fricción, la situación sería similar. Inicialmente la corriente sería\(E/R\), pero, cuando el motor está rotando con velocidad angular\(\omega\), el promedio de contraEMF es\(2NAB \omega / \pi\) las ecuaciones 10.5.2 y 10.6.5), y para cuando éste haya alcanzado la EMF de la batería, la bobina sin fricción y sin carga continúa girando a velocidad angular constante, no tomando corriente de la batería.

Ahora volvamos a nuestro motor lineal que consiste en una varilla metálica tendida sobre dos rieles, pero esta vez supongamos que hay cierta resistencia mecánica al movimiento. Esto podría ser ya sea porque hay fricción entre la varilla y los rieles, o tal vez la varilla está arrastrando un peso pesado detrás de ella, o ambos. De una forma u otra, supongamos que la varilla está sometida a una fuerza constante\(F\) hacia la izquierda. Como antes, la relación entre la corriente y la velocidad viene dada por la Ecuación\ ref {10.7.6}, pero, cuando se ha alcanzado un estado estacionario, la fuerza electromagnética que\(aIB\) tira de la varilla hacia la derecha es igual a la carga mecánica que\(F\) arrastra la varilla hacia la izquierda. Es decir,\(E - av B = IR\text{ and }F = a I B\). Si eliminamos\(I\) entre estas dos ecuaciones, obtenemos

\[\label{10.7.9}E-avB=\frac{FR}{aB},\]

o

\[\label{10.7.10}v=\frac{E}{aB}-\frac{R}{(a\,B)^2}F.\]

Esta ecuación, que relaciona la velocidad a la que corre el motor con la carga mecánica, se denomina característica de rendimiento del motor. En nuestro motor particular, la característica de rendimiento muestra que la velocidad a la que funciona el motor disminuye constantemente a medida que aumenta la carga, y el motor corre a una parada de molienda para una carga igual a\(a B E / R\). (Verificar que esto tenga las dimensiones de fuerza.) La corriente es entonces\(E/R\). Esta corriente puede ser bastante grande. Si evita físicamente que un motor real gire aplicándole un par mecánico tan grande que el motor no pueda moverse, una gran corriente fluirá a través de la bobina, lo suficientemente grande como para calentar y posiblemente fusionar la bobina. Escucharás una grieta aguda y verás una pequeña bocanada de humo.

Si multiplicamos la ecuación\ ref {10.7.6} por\(I\), obtenemos

\[\label{10.7.11}EI=aIBv+I^2 R,\]

o

\[\label{10.7.12}EI=Fv+I^2R.\]

Esto demuestra que la energía producida por la batería va en parte a realizar trabajos mecánicos externos, y el resto se disipa como calor en la resistencia. Restringir el motor para que\(v = 0\), y todo eso\(E I\) entre en\(I^2 R\).

Si tuviera que mover físicamente la varilla hacia la derecha a una velocidad más rápida que la velocidad de equilibrio, la EMF posterior se vuelve mayor que la EMF de la batería y la corriente fluye de regreso a la batería. El dispositivo es entonces un generador en lugar de un motor.

La naturaleza de la característica de rendimiento varía con los detalles del diseño del motor. Es posible que no desee un motor cuya velocidad disminuya tan drásticamente con la carga. Es posible que tengas que decidir de antemano qué tipo de característica de rendimiento quieres que tenga el motor, dependiendo de qué tareas quieras que realice, y luego tienes que diseñar el motor en consecuencia. Mencionaremos algunas posibilidades en la siguiente sección.

Ahora — las soluciones prometidas a los problemas.

Solución al Problema 1.

Cuando la velocidad de la varilla es\(v\), el EMF neto en el circuito es\(E - a Bv\), entonces la corriente es\((E - a Bv) /R\), y así la fuerza sobre la varilla será\(aB(E - a Bv) /R\) y la aceleración\(dv / dt\) será\(aB(E - a Bv) /(mR)\). La ecuación del movimiento es, por lo tanto

\[\frac{dv}{E-aBv}=\frac{aB}{mR}dt.\label{10.7.13}\]

La integración, con\(v = 0\) cuando\(t = 0\), da la Ecuación requerida\ ref {10.7.7}.

Solución al Problema 2.

Sólo hay que poner\(v = \frac{E}{ 2a B}\) en Ecuación\ ref {10.7.7} y resolver para\(t\). Verificar que la expresión tenga las dimensiones del tiempo.

Solución al Problema 3.

Pon los números dados en la Ecuación\ ref {10.7.7} para obtener

\[\label{10.7.14}B=\frac{1}{4}(1-e^{-100B^2})\]

y resolver esto para\(B\). (Agradable y fácil. Pero si no tienes experiencia en resolver ecuaciones como esta, el proceso de Newton-Raphson se describe en el Capítulo 1 de las notas de Mecánica Celestial de esta serie. Esta ecuación sería una buena práctica.) Hay dos respuestas posibles, a saber,\(0.043996\) y 0.249505 teslas. Dibujo los gráficos de velocidad:tiempo para las dos soluciones a continuación:

Números de interés para los dos campos:

\[\nonumber \begin{align}&B\text{ (T)}\quad \quad &v_\infty (\text{m s}^{-1})\quad\quad\quad &\overline t\,\text{ s} \\ \nonumber \\ \nonumber&0.0440 \quad\quad &1704.7 \quad\quad\quad &1074.29 \\ \nonumber &0.2495 \quad\quad &300.6 \quad\quad\quad &33.40 \\ \end{align}\]