10.12: Crecimiento de corriente en un circuito que contiene inductancia

Se le habrá ocurrido que si el crecimiento de la corriente en una bobina da como resultado una contra-EMF que se opone al aumento de la corriente, la corriente no puede cambiar instantáneamente en un circuito que contenga inductancia. Esto es correcto. (Recordemos también que la diferencia de potencial en un circuito no puede cambiar instantáneamente en un circuito que contiene capacitancia. Ahora que lo pienso, apenas es posible que la capacitancia o inductancia de cualquier circuito sea exactamente cero; cualquier circuito real debe tener alguna capacitancia e inductancia, aunque sea muy pequeña.)

Considere el circuito de la Figura X.9. Una batería de EMF\(E\) está en serie con una resistencia y una inductancia. (Una bobina o solenoide o cualquier inductor en general tendrá tanto inductancia como resistencia, por lo que el\(R\) y el\(L\) en la Figura pueden pertenecer a un solo elemento.) Tenemos que tener mucho cuidado con las señales en lo que sigue.

\(\text{FIGURE X.9}\)

Cuando el circuito está cerrado (por un interruptor, por ejemplo) una corriente fluye en la dirección mostrada. por una flecha, que también indica la dirección del aumento de corriente. \(L\dot I\)Se induce una CEM en la dirección opuesta a\(\dot I\). Así, la ley de Ohm, o, si lo prefieres, la segunda regla de Kirchhoff, aplicada al circuito (mira las señales cuidadosamente) es

\[E=IR -L \dot I=0.\label{10.12.1}\]

Por lo tanto:

\[\label{10.12.2}\int_0^I \frac{dI}{\frac{E}{R}-I}=\frac{R}{L}\,dt.\]

Advertencia: Algunas personas encuentran un impulso casi irresistible de escribir esto como\(\int_0^I \frac{dI}{I-\frac{E}{R}}=-\frac{R}{L}\,dt\).

¡No!

Se puede anticipar que el lado izquierdo va a ser un logaritmo, así que asegúrate de que el denominador sea positivo. Es posible que recuerde una advertencia similar cuando estábamos cargando y bajando un condensador a través de una resistencia.

La integración de la ecuación\ ref {10.12.2} da como resultado la siguiente ecuación para el crecimiento de la corriente con el tiempo:

\[I=\frac{E}{R}\left (1-e^{-(R/L)t}\right ) .\label{10.12.3}\]

Así la corriente se aproxima asintóticamente a su valor último de\(E/R\), alcanzando 63% (es decir\(1-e^{-1}\)) de su valor último en un tiempo\(L/R\). En la Figura X.10, la corriente se muestra en unidades de\(E/R\), y el tiempo en unidades de\(L/R\). Debe verificar que\(L/R\), que se llama la constante de tiempo del circuito, tiene las dimensiones del tiempo.

\(\text{FIGURE X.10}\)

Aquí hay un problema que dará práctica al enviar una corriente a través de un inductor, aplicar las reglas de Kirchhoff y resolver ecuaciones diferenciales. Existe un problema similar que involucra un condensador, en el Capítulo 5, Sección 5.19.

En el circuito anterior, mientras el interruptor está abierto,\(I_1 = I_2 = E/(2 R)\text{ and }I_3 = 0\). Mucho después de que el interruptor esté cerrado y se hayan alcanzado las corrientes constantes,\(I_1\) serán\( 2E /(3R)\), y\(I_2 \text{ and }I_3\) serán cada una\(E /(3R)\). Pero queremos investigar qué sucede en el breve momento mientras cambia la corriente.

Aplicamos las reglas de Kirchhoff:

\[\label{10.12.4}E=I_1R+I_2R \]

\[\label{10.12.5}I_3R+L\dot I_3 -I_2R=0\]

\[\label{10.12.6}I_1=I_2+I_3,\]

[Obtener el signo de\(L\dot I_3\) derecha en la Ecuación\ ref {10.12.5} es importante. Piense en el inductor como una batería de EMF\(L\dot I_3\) orientada así:.]

Eliminar\(I_1 \text{ and }I_2\) para obtener una sola ecuación en\(I_3\).

\[\label{10.12.7}\frac{dI_3}{dt}+\frac{3R}{2L}I_3 =\frac{E}{2L}.\]

Esto es de la forma\(\frac{dy}{dx}+ay=b\), y los experimentados con ecuaciones diferenciales no tendrán dificultad para llegar a la solución

\[\label{10.12.8}I_3 = \frac{E}{3R}+Ae^{\frac{3Rt}{2L}}.\]

Con la condición inicial de que\(I_3 = 0 \text{ when }t = 0\), esto se convierte en

\[\label{10.12.9}I_3=\frac{E}{3R}\left ( 1-e^{-\frac{3Rt}{2L}}\right ) \]

Las otras corrientes se encuentran a partir de las reglas de Kirchhoff (ecuaciones\ ref {10.12.4} -6). Yo los hago:

\[\label{10.12.10}I_2 = \frac{E}{3R}\left ( 1+\frac{1}{2}e^{-\frac{3Rt}{2L}}\right ) \]

\[\label{10.12.11}I_1 = \frac{E}{3R}\left ( 2-\frac{1}{2}e^{-\frac{3Rt}{2L}}\right )\]

Así\(I_1\) va desde un principio\(\frac{E}{2R}\text{ to finally }\frac{2E}{3R}\).

\(I_2\)va desde un principio\(\frac{E}{2R}\text{ to finally }\frac{E}{3R}\).

\(I_3\)va de cero inicial a finalmente\(\frac{E}{3R}\).

Aquí hay gráficas de las corrientes (en unidades de\(E/R\)) en función del tiempo (en unidades de\(2L /(3R)\)).