10.14: Descarga de un Capacitor a través de una Inductancia y una Resistencia

En la sección y en la siguiente, se supone que el lector tiene alguna experiencia en la solución de ecuaciones diferenciales. Cuando lleguemos a una ecuación diferencial, no entraré en la mecánica de cómo resolverla, simplemente escribiré la solución de la ecuación inmediatamente posterior a ella, sin explicación. No se supone que un lector podrá resolver de inmediato la ecuación es su cabeza, sino que podría hacerlo dada media hora en una habitación tranquila. Aquellos que no tengan experiencia en ecuaciones diferenciales deberán tomar las soluciones dadas sobre la confianza.

Un condensador cargado de capacitancia\(C\) está conectado en serie con un interruptor y un inductor de inductancia\(L\). El interruptor está cerrado, y la carga fluye fuera del condensador y por lo tanto una corriente fluye a través del inductor. Así, mientras el campo eléctrico en el condensador disminuye, el campo magnético en el inductor crece, y se induce una fuerza retroelectromotriz (EMF) en el inductor. Dejar\(Q\) ser la carga en el condensador en algún momento. La corriente\(I\) que fluye desde la placa positiva es igual a\(-\dot Q\). La diferencia de potencial a través del condensador es\(Q/C\) y la contraEMF a través del inductor es\(L\dot I = -L\ddot Q\). La caída de potencial alrededor de todo el circuito es cero, así que eso\(Q /C = -L\ddot Q\). Por lo tanto, la carga en el condensador se rige por la ecuación diferencial

\[\label{10.14.1}\ddot Q = -\frac{Q}{LC},\]

que es simple movimiento armónico con\(\omega_0 = 1/ \sqrt{ LC}\). Debe verificar que esto tenga dimensiones\(\text{T}^{-1}\).

Si hay una resistencia de resistencia\(R\) en el circuito, mientras que una corriente fluye a través de la resistencia hay

una caída de potencial\(RI= -R\dot Q\) a través de él, y la ecuación diferencial que rige la carga en el condensador es entonces

\[\label{10.14.2}LC\ddot Q + RC\dot Q +Q=0.\]

Este es el movimiento oscilatorio amortiguado, siendo la condición para la amortiguación crítica\(R^2 = 4L/C\). De hecho, en realidad no es necesario tener una resistencia física en el circuito. Incluso si el condensador y el inductor estuvieran conectados por cables superconductores de resistencia cero, mientras la carga en el circuito se inclina entre el condensador y el inductor, estará irradiando energía electromagnética al espacio y por lo tanto perdiendo energía. El efecto es justo como si hubiera una resistencia en el circuito.

Quienes estén familiarizados con ecuaciones diferenciales reconocerán que la naturaleza de la solución dependerá de si la resistencia es mayor que, menor que, o igual a\(2\sqrt{\frac{L}{C}}\). Puede utilizar la tabla de dimensiones del Capítulo 11 para verificar que\(\sqrt{\frac{L}{C}}\) sea dimensionalmente similar a la resistencia.

Si la resistencia es menor que\(2\sqrt{\frac{L}{C}}\) la carga en el condensador variará con el tiempo como

\[\label{10.14.3}Q=Ke^{- \gamma t/2}\sin (\omega^\prime t+\alpha ),\]

dónde\(\label{10.14.4}\gamma = R/L\) y

\[ \omega^\prime = \sqrt{\dfrac{1}{LC}-\dfrac{R^2}{4L^2}},\]

Se trata de una función sinusoidal cuya amplitud disminuye exponencialmente con el tiempo. Las constantes\(K\) y\(\alpha\) son constantes arbitrarias de integración, las cuales dependen de las condiciones iniciales. Si las condiciones iniciales son tales que, en el tiempo\(t=0\),\(Q = Q_0\) y\(\dot{Q}=I =0\), entonces la Ecuación\ ref {10.14.3} se convierte, después de un poco de álgebra y trigonometría

\[\label{10.14.5}Q=Q_0 e^{-\gamma t/2} \left( \dfrac{\gamma}{2 \omega^\prime} \sin \omega^\prime t + \cos \omega^\prime t. \right).\]

Se trata de una función sinusoidal cuya amplitud disminuye exponencialmente con el tiempo.

Si la resistencia es mayor que\(2\sqrt{\frac{L}{C}}\) la carga en el condensador variará con el tiempo como

\[\label{10.14.6}Q=Ae^{-\lambda_1 t}+Be^{-\lambda_2 t},\]

donde

\[\label{10.14.7}\lambda_1=\dfrac{R}{2L}-\sqrt{\dfrac{R^2}{4L^2}-\dfrac{1}{LC}},\quad \lambda_2=\frac{R}{2L}+\sqrt{\dfrac{R^2}{4L^2}-\frac{1}{LC}}\]

Aquí, y\(A\text{ and }B\) son constantes arbitrarias de integración, que dependen de las condiciones iniciales. Si las condiciones iniciales son tales que, en el tiempo 0,\(Q = Q_0\text{ and }\dot Q = I = 0\), entonces la Ecuación\ ref {10.14.6} se convierte

\[\label{10.14.8}Q=\frac{Q_0}{\lambda_2 - \lambda_1}\left ( \lambda_2 e^{-\lambda_1t}-\lambda_1 e^{-\lambda_2 t}\right ).\]

Así, con estas condiciones iniciales,\(Q\) disminuye monótonamente, sin oscilación, a cero as\(t → \infty\).

Si la resistencia es igual a\(2\sqrt{\frac{L}{C}}\) la carga en el condensador variará con el tiempo como

\[\label{10.14.9}Q=Ke^{-\frac{Rt}{2L}}(1+at). \]

Si las condiciones iniciales son tales que, en el tiempo 0,\(Q = Q_0\text{ and }\dot Q = I = 0\), entonces la Ecuación\ ref {10.14.9} se convierte

\[\label{10.14.10}Q=Q_0e^{-\frac{Rt}{2L}}\left ( 1+\frac{Rt}{2L}\right ),\]

que disminuye monótonamente a cero como\(t → \infty, \text{ reaching }\frac{1}{2}Q_0\text{ at }t= 3. 3567 R / L\).