10.15: Carga de un Capacitor a Través de Inductancia y Resistencia

En la Sección 5.19 conectamos una batería a una capacitancia y una resistencia en serie para ver cómo la corriente en el circuito y la carga en el condensador variaban con el tiempo; en este capítulo, Sección 10.12, conectamos una batería a una inductancia y una resistencia en serie para ver cómo se la corriente aumentó con el tiempo. Aún no hemos conectado una batería a\(R\),\(C\),\(L\) en serie. Estamos a punto de hacer esto. También recordamos, de la Sección 5.19, cuando conectamos una batería a\(C\) y\(R\) en serie, la corriente aparentemente aumenta instantáneamente de cero a tan pronto\(E/R\) como cerramos el interruptor. Señalamos que cualquier circuito real (que es necesariamente un bucle) debe tener alguna inductancia, por pequeña que sea, y en consecuencia la corriente tarda un tiempo finito, por pequeño que sea, en alcanzar su valor máximo después de que se cierre el interruptor.

La ecuación diferencial que muestra cómo el EMF de la batería es igual a la suma de las diferencias de potencial entre los tres elementos es

\[\label{10.15.1}E=IR+Q/C+L\dot I \]

Si\(L=\dot Q\text{ and }\dot I =\ddot Q\) escribimos llegamos a la ecuación diferencial para la carga en el condensador:

\[\label{10.15.2}LC\ddot Q +RC\dot Q +Q=EC\]

Las soluciones generales a esto son las mismas que para la Ecuación 10.14.2 excepto por la adición de la integral particular, que los devotos de las ecuaciones diferenciales reconocerán como simples\(EC\). Las soluciones generales para el I actual se pueden encontrar diferenciando las soluciones\(Q\) con respecto al tiempo.

Así, las soluciones generales son

Si la resistencia es menor que\(2\sqrt{\frac{L}{C}}\) la carga en el condensador y la corriente en el circuito variará con el tiempo como

\[\label{10.15.3}Q=Le^{-\gamma T}\sin (\omega^\prime t+\alpha)+EC.\]

\[\label{10.15.4}I=Ke^{-\gamma t}[\omega ^\prime +\alpha )-\gamma \sin (\omega ^\prime t +\alpha )].\]

Las definiciones de las constantes\(\gamma \text{ and }\omega ^\prime\) fueron dadas por las ecuaciones 10.14.4.

Si la resistencia es mayor que\(2\sqrt{\frac{L}{C}}\) la carga en el condensador y la corriente en el circuito variará con el tiempo como

\[\label{10.15.5}Q=Ae^{-\lambda_1t}+Be^{-\lambda_2t}+EC.\]

\[\label{10.15.6}I=-(\lambda_1Ae^{-\lambda_1t}+\lambda_2Be^{-\lambda_2t}).\]

Las definiciones de las constantes\(\lambda_1\text{ and }\lambda_2\) fueron dadas por las ecuaciones 10.14.7.

Si la resistencia es igual a\(2\sqrt{\frac{L}{C}}\) la carga en el condensador y la corriente en el circuito variará con el tiempo como

\[\label{10.15.7}Q=Ke^{-\frac{Rt}{2L}}(1+at)+EC.\]

\[\label{10.15.8}I=Ke^{-\frac{Rt}{2L}}\left [ a-\frac{R}{2L}(1-at)\right ] .\]

Las constantes de integración se pueden encontrar a partir de las condiciones iniciales. At\(t = 0,\, Q\), la carga en el condensador, es cero. (Esto es diferente al ejemplo de la Sección 10.14, donde se encontraba el cargo inicial\(Q_0\). También en\(t = 0\), la corriente\(I = 0\). Efectivamente esta es una de las motivaciones para hacer esta investigación -recuerden nuestra dificultad en la Sección 5.19. Los resultados de aplicar las condiciones iniciales son:

Si la resistencia es mayor que\(2\sqrt{\frac{L}{C}}\) las constantes de integración están dadas por

\[\label{10.15.10}\tan \alpha = \frac{\omega^\prime}{\gamma}\]

y

\[\label{10.15.11}K=-\frac{EC}{\sin \alpha}\]

Estos podrían en principio insertarse en las ecuaciones\ ref {10.15.3} y\ ref {10.15.4}. Para fines computacionales es más fácil dejar las ecuaciones como están.

Si la resistencia es mayor que\(2\sqrt{\frac{L}{C}}\) la carga en el condensador y la corriente en el circuito variará con el tiempo como

\[\label{10.15.12}Q=EC\left [ 1-\left ( \frac{\lambda_2 e^{-\lambda_1 t}-\lambda_1e^{-\lambda_2t}}{\lambda_2 -\lambda_1}\right ) \right ]\]

\[\label{10.15.13}I=EC\left ( \frac{\lambda_1 \lambda_2}{\lambda_2 -\lambda_1}\right ) \left ( e^{-\lambda_1t}-e^{-\lambda_2t}\right ).\]

Si la resistencia es igual a\(2\sqrt{\frac{L}{C}}\) la carga en el condensador y la corriente en el circuito variará con el tiempo como

\[\label{10.15.14}Q=EC\left [ 1-e^{-Rt/(2L)}\left ( 1+\frac{Rt}{2L}\right ) \right ]\]

\[\label{10.15.15}I=\frac{ECR^2}{4L^2}te^{-Rt/(2L)}.\]

Se observará, en los tres casos, que la función complementaria de la solución a la ecuación diferencial es un transitorio que finalmente desaparece, mientras que la integral particular representa la solución final de estado estacionario. Los lectores pueden haber notado que, cuando se funde un fusible, a menudo sopla justo cuando enciendes; es la oleada transitoria la que da el golpe fatal.

La situación que inicialmente nos interesó en este problema fue el caso cuando la inductancia en el circuito era muy pequeña, es decir, cuando la resistencia es mayor que\(2\sqrt{\frac{L}{C}}\). Nos preocupaba que, cuando la inductancia era en realidad cero, la corriente aparentemente subió de inmediato a tan pronto\(EC\) como se cerró el interruptor. Así que veamos la Ecuación\ ref {10.15.13}. Si multiplicamos ambos lados por\(CR\) él, entonces se puede escribir en forma adimensional como

\[\label{10.15.16}\frac{I}{E/R}=\left ( \frac{l_1 l_2}{l_2-l_1}\right ) \left (e^{-l_1\tau}-e^{-l_2\tau}\right ),\]

donde

\[\label{10.15.17}\tau=t/(CR) \quad \text{and}\quad l_i = CR\lambda_i .\]

En otras palabras estamos expresando el tiempo en unidades de\(CR\).

Se puede observar, por diferenciación de la Ecuación\ ref {10.15.16}, que la corriente alcanzará un valor máximo (que es menor que\(E/R\)) en el tiempo dado por

\[\label{10.15.18}\tau = \frac{\ln (l_2/l_1)}{l_2-l_1}=\frac{\ln (\lambda_2/\lambda_1)}{\lambda_2-\lambda_1}.\]

Las dos\(\lambda\) constantes, definidas primero en las ecuaciones 10.14.7, se pueden escribir en la forma

\[\label{10.15.19}\lambda_1 =\frac{R}{2L}\left [ 1-\sqrt{1-\frac{4(L/R)}{RC}}\right ] ,\, \lambda_2 = \frac{R}{2L}\left [ 1+\sqrt{1-\frac{4(L/R)}{RC}}\right ] \]

Presento la relación adimensional

\[\label{10.15.20}x=\frac{L/R}{CR},\]

para que

\[\label{10.15.21}l_1=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x},\quad l_2 =\frac{1+\sqrt{1-4x}}{2x}\]

En la tabla y gráfica a continuación muestro cómo\(I\) cambia la corriente con el tiempo (Ecuación\ ref {10.15.13}, o, en forma adimensional,\ ref {10.15.16}) para\(x=\frac{1}{10}\) y para\(x=\frac{1}{25}\). La corriente se da en unidades de\(E/R\), y el tiempo es en unidades de\(RC\). Solo si la inductancia del circuito es exactamente cero (lo que no se puede obtener en ningún circuito cerrado real) la corriente saltará inmediatamente de 0 a\(E/R\) en el instante en que el interruptor esté cerrado.

\[\nonumber \begin{matrix} x & l_1 & l_2 & \frac{l_1l_2}{l_2-l_1} & \tau_{max} & \frac{I_{max}}{E/R} \\ \nonumber \\ \nonumber 0.10 & 1.12702 & 8.87298 & 1.29099 & 0.26639 & 0.83473 \\ \nonumber 0.04 & 1.04356 & 23.95644 & 1.09109 & 0.13676 & 0.90476 \\ \end{matrix}\]