14.3: El primer teorema de la integración
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Teorema de Primera Integración
El teorema es:
\[\textbf{L} \int_0^t y(x)dx = \frac{\bar{y}(s)}{s}.\]
Antes de derivar este teorema, aquí hay un ejemplo rápido para mostrar lo que significa. El teorema es más útil, como en este ejemplo, para encontrar una transformada inversa de Laplace, i.e.
\[\textbf{L}^{-1} \frac{\bar{y} (s)}{s} = \int_0^t y(x)dx.\]
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
Calcular
\[\textbf{L}^{-1} \frac{1}{s(s-a)}.\]
Solución
De la mesa, vemos que\(\textbf{L}^{-1} \frac{1}{s-a}=e^{at}\). The integration theorem tells us that
\[\textbf{L}^{-1} \frac{1}{s(s-a)}=\int_o^t e^{ax}dx = (e^{at}-1)/a.\]
Ahora debe verificar que esta es la respuesta correcta sustituyéndola en la Ecuación 14.1.2 e integrando — o (¡y!) utilizando la tabla de transformaciones de Laplace.
Prueba
La prueba del teorema es solo cuestión de integrar por partes. Así
\[\begin{align} \textbf{L}\int_0^t y(x)dx & = \int_0^\infty \left( \int_0^t y(x)dx \right) e^{-st}dt = -\frac{1}{s}\int_0^\infty \left( \int_0^t y(x)dx \right) d\left( e^{-st} \right) \\ &= \left[ -\frac{1}{s}e^{-st} \int_0^t y(x)dx \right]^\infty_{t=0} + \frac{1}{s} \int_0^\infty e^{-st}y(t)dt. \end{align}\]
La expresión entre paréntesis es cero en ambos límites, y por lo tanto se prueba el teorema.