14.4: El segundo teorema de integración (Dividiendo una función por t)

Este teorema se parece mucho al primer teorema de integración, pero “al revés”. Es

\[\textbf{L} \left(\frac{y(t)}{t} \right) = \int_s^\infty \bar{y}(x)dx.\]

Lo dejaré para que el lector derive el teorema. Aquí solo doy un ejemplo de su uso. Mientras que el primer teorema de integración es más útil para encontrar transformadas inversas, el segundo teorema de integración es más útil para encontrar transformadas directas.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Calcular

\[\textbf{L}\left(\frac{\sin at}{t} \right).\]

Solución

Esto significa calcular

\[\int_0^\infty \frac{e^{-st}\sin at}{t}dt.\]

Si bien esta integral sin duda se puede hacer, puede que la encuentres un poco desalentadora, y el segundo teorema de integración proporciona una forma alternativa de hacerlo, resultando en una integral más fácil.

Obsérvese que el lado derecho de la ecuación 14.4.1 es una función de\(s\), not of \(x\), which is just a dummy variable. The function \(\bar{y}(x)\) is the Laplace transform, with \(x\) as argument, of \(y(t)\). In our particular case, \(y(t)\) is \(\sin at\), so that, from the table, \(\bar{y}(x)=\frac{a}{a^2+x^2}\). El segundo teorema de integración, entonces, nos dice eso\(\textbf{L} \left( \frac{\sin at}{t}\right)=\int_s^\infty \frac{a}{a^2+x^2}dx\). Esta es una integral mucho más fácil. Lo es\(\left[\tan^{-1} \left(\frac{x}{a} \right) \right]_s^\infty = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1} \left( \frac{s}{a} \right) = \tan^{-1} \left(\frac{a}{s}\right)\). Quizás quieras agregar este resultado a tu tabla de integrales de Laplace. En efecto, es posible que ya desee ampliar la tabla considerablemente aplicando ambos teoremas de integración a varias funciones.