15.9: Ondas electromagnéticas
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Maxwell predijo la existencia de ondas electromagnéticas, y éstas fueron generadas experimentalmente por Hertz poco después. Además, la velocidad predicha de las ondas era\(3 \times 10^{8}\, \text{m s}^{-1}\), t la misma que la velocidad medida de la luz, mostrando que la luz es una onda electromagnética.
En un medio isotrópico, homogéneo, no conductor, sin carga, donde la permitividad y permeabilidad son cantidades escalares, se pueden escribir las ecuaciones de Maxwell
\[\boldsymbol{\nabla} \cdot \textbf{E} = \rho. \tag{15.9.1} \label{15.9.1}\]
\[ \boldsymbol{\nabla} \cdot \textbf{H} = 0. \tag{15.9.2} \label{15.9.2}\]
\[\boldsymbol{\nabla} \times \textbf{H} = \epsilon \dot {\textbf{E}}. \tag{15.9.3} \label{15.9.3}\]
\[\boldsymbol{\nabla} \times \textbf{E} = - \mu \dot{ \textbf{H}}. \tag{15.9.4} \label{15.9.4}\]
Estas ecuaciones en volve\(\textbf{E}\),\(\textbf{H}\), y\(t\). Veamos si podemos eliminat e\(\textbf{E}\) a nd de ahí encontrar una ecuación en justa\(\textbf{H}\) y\(t\).
Toma la ecuación\(\textbf{curl}\) de\(\ref{15.9.3}\), and make use of equation 15.6.4:
\[ \textbf{grad}\, \text{div} \textbf{H} - \nabla^2\textbf{H} = \epsilon \dfrac{\partial}{\partial t} \textbf{curl}\, \textbf{E} \tag{15.9.5} \label{15.9.5}\]
Sustitución de ecuaciones\(\text{div} \ \textbf{H}\) y\(\textbf{curl}\, \textbf{E}\) fr om\(\ref{15.9.2}\) and \(\ref{15.9.4}\) to obtain
\[ \nabla^2 \textbf{H} = \epsilon \mu \ddot{\textbf{H}}\tag{15.9.6} \label{15.9.6}\]
Esta es la ecuación en términos de jus t\(\textbf{H}\) y\(t\) th en que buscamos.
La comparación con la ecuación 15.1.2 muestra que se trata de una ola de velocidad\(1/ \sqrt{\epsilon \mu}\) (Verify that this has the dimensions of speed.)
De manera similar, el lector debería ser fácilmente capaz de eliminar e\(\textbf{B}\) t o derivar la ecuación
\[ \nabla^2 \textbf{E} = \epsilon \mu \ddot{\textbf{E}} \tag{15.9.7} \label{15.9.7}\]
En un vacío, la velocidad es\(1/ \sqrt{\epsilon_o \mu_o}\). Wit h\(\mu_o = 4\pi \times 10^{-7}\, \text{H m}^{-1}\) y\(\epsilon_o = 8.854 \times 10^{-12} \text{F m}^{-1}\), esto co mes a\(2.998 \times 10^8 \, \text{m s}^{-1}\).
¿Podemos eliminarte\(t\) de las ecuaciones, y de ahí obtener una relación entre ju st\(\textbf{E}\) y\(\textbf{H}\)? Si lo haces, obtendrás
\[ \dfrac{E}{H} = \sqrt{\dfrac{\mu}{\epsilon}}, \tag{15.9.8} \label{15.9.8}\]
que, en un vacío, o espacio libre, se convierte en
\[ \dfrac{E}{H} = \sqrt{\dfrac{\mu_o}{\epsilon_o}} = 377\, \Omega, \tag{15.9.9} \label{15.9.9}\]
que es la impedancia de un vacío, o del espacio libre. Dado que las unidades SI de\(\textbf{E}\) y\(\textbf{H}\) son, respectivamente, V m - 1 y A m - 1 , es fácil verificar que las unidades de impedancia son V A - 1, o\(\Omega\) .