15.10: Transformaciones de Calibre

Recordamos (ecuación 9.1.1) que un campo eléctrico estático\(\textbf{E}\) puede derivarse del negativo del gradiente de una función potencial escalar del espacio:

\[ \textbf{E} = -\textbf{grad} \, V. \tag{15.10.1} \label{15.10.1}\]

El cero del potencial es arbitrario. Podemos agregar cualquier constante (con las dimensiones del potencial) a V. Por ejemplo, si definimos\(V^{\prime}= V +C\) dónde\(C\) es una constante (en el sentido de que no es una función de x, y, z) entonces todavía podemos calcular el campo eléctrico a partir de\(\textbf{E} = - \textbf{grad}V^{\prime}\).

También recordamos (Ecuación 9.2.1) que un campo magnético estático\(\textbf{B}\) c an se deriva del rizo de una función potencial de vector magnético:

\[ \textbf{B} = \textbf{curl} \,\textbf{A} \tag{15.10.2} \label{15.10.2}\]

Recordemos también aquí el concepto del flujo B de la Ecuación 6.10.1:

\[ \Phi_B= \iint \textbf{B} \cdot d\textbf{A} \tag{15.10.3} \label{15.10.3}\]

Vale la pena aquí recapitular las dimensiones y unidades SI de estas cantidades:

Observable	Dimensiones	Si Unidades
E	MLT ^- ^2 Q ^- ^1	V m ^- ^1
B	MT ^- ^1 Q ^- ^1	T
V	ML ^2 T ^- ^2 Q ^- ^1	V
A	MLT ^- ^1 Q ^- ^1	T m o Wb m ^- ^1
Φ B	ML ^2 T ^- ^1 Q ^- ^1	T m ^2 o Wb

La ecuación también\(\ref{15.10.2}\) es cierta para un campo no estático. Por lo tanto, un campo magnético variable en el tiempo puede ser representado por el potencial\(\textbf{curl}\) de un vector magnético variable en el tiempo. Sin embargo, sabemos por el fenómeno de la inducción electromagnética que un campo magnético variable tiene el mismo efecto que un campo eléctrico, de manera que, si los campos no son estáticos, el campo eléctrico es el resultado de un gradiente de potencial eléctrico y un campo magnético variable, por lo que esa ecuación\(\ref{15.10.1}\) mantiene sólo para campos estáticos.

Si combinamos la ecuación de Maxwell\(\textbf{curl}\, \textbf{E} = - \dot{\bf{B}}\) with the equation for the definition of the magnetic vector potenti al\(\textbf{curl}\, \bf{A} = \bf{B}\), obtenemos\(\textbf{curl}\, (\bf{E} + \dot{\bf{A}}) = 0\) Entonces, ya que\(\textbf{curl grad}\) de cualquier función escalar es cero, podemos definir una función potencial\(V\) tal que

\[\textbf{E} + \dot{\bf{A}} = -\textbf{grad} \, V\tag{15.10.4} \label{15.10.4}\]

(Podríamos haber elegido un signo más, pero elegimos un signo menos para que se reduzca a la\(\textbf{E} = -\textbf{grad}V\) for a static field.) Thus equations \(\ref{15.10.4}\) and \(\ref{15.10.2}\) define the electric and magnetic potentials – or at least they define the \(\textbf{grad}\)ient of V and the \(\textbf{curl}\) of \(\textbf{A}\). But we recall that, in the static case, we can add an arbitrary constant t o familiar\(V\) (siempre y cuando la constante sea dimensionalmente similar a V), y la ecuación\(\textbf{E} = -\textbf{grad}V^{\prime}\), donde\(V^{\prime} = V + C\), aún se mantiene. ¿Podemos encontrar una transformación adecuada para\(V\) y\(\textbf{A}\) tal que las ecuaciones\(\ref{15.10.2}\) y\(\ref{15.10.4}\) aún se mantengan en el caso no estático? Tal transformación sería una transformación de calibre.

Dejar\(\chi\) ser alguna función escalar arbitraria del espacio y el tiempo. Exijo poco de la forma de\(\chi\) ; en efecto exijo sólo dos cosas. Una es que se trata de una función de “buen comportamiento”, en el sentido de que está en todas partes y en todo momento de un solo valor, continua y diferenciable. El otro es que debe tener dimensiones ML ² T ^{- 1} Q ^-1 . Esto es lo mismo que las dimensiones del flujo B magnético, pero no estoy seguro de que sea particularmente útil pensar en esto. Sin embargo, será útil señalar que las dimensiones de grad\(\chi\) and of \(\dot{\chi}\) are, respectively, the same as the dimensions of magnetic vector potenti al (\(\bf{A}\)) y o f potencia eléctrica l (\(V\)).

Hagamos las transformaciones

\[\textbf{A}^{\prime}= \textbf{A}-\textbf{grad}\boldsymbol{\chi} \tag{15.10.5} \label{15.10.5}\]

y\[V^{\prime} = V + \dot \chi \tag{15.10.6} \label{15.10.6}\]

Veremos muy rápidamente que esta transformación (y tenemos una amplia elección en la forma de c) preserva las formas de ecuaciones\(\ref{15.10.2}\) and \(\ref{15.10.4}\), and therefore this transformation (or, rather, these transformations, since c puede tener cualquier forma bien comportada) son transformaciones de calibre.

Así\(\textbf{curl} \, \textbf{A} = \textbf{B}\) se convierte\(\textbf{curl}\, ( \textbf{A}^{\prime} + \textbf{grad} \chi)=\textbf{B}\) And since \(\textbf{curl grad}\) of any scalar field is zero, this becomes \(\textbf{curl} \, \textbf{A}^{\prime} = \textbf{B}\).

También,\(\textbf{grad}V = - (\textbf{E} + \dot{\textbf{A}})\) becomes

se convierte\[\textbf{grad}(V^{\prime}-\dot \chi) = -(\textbf{E} + \dot{\textbf{A}^{\prime}} + \textbf{grad} \dot{\boldsymbol{\chi}}), \text{ or } \textbf{grad}V^{\prime} = -(\textbf{E} + \dot{\textbf{A}^{\prime}}). \tag{15.10.7}\]

Así se conserva la forma de las ecuaciones. Si hacemos una transformación de calibre a los potenciales como las ecuaciones\(\ref{15.10.5}\) and \(\ref{15.10.6}\), this does not change the fields \(\textbf{E}\) and \(\textbf{B}\), so that the fields \(\textbf{E}\) and \(\textbf{B}\) are gauge invariant. Maxwell’s equations in their usual form are expressed in terms of \(\textbf{E}\) and \(\textbf{B}\), and are hence gauge invariant.