15.11: Ecuaciones de Maxwell en forma potencial

En su forma habitual, las ecuaciones de Maxwell para un medio isotrópico, escritas en términos de los campos, son

\[\text{div} \,\textbf{D} =\rho \tag{15.11.1} \label{15.11.1}\]

\[\text{div} \,\textbf{B} = 0 \tag{15.11.2} \label{15.11.2}\]

\[\textbf{curl} \,\textbf{H} =\dot{\bf{D}} + \textbf{J} \tag{15.11.3} \label{15.11.3}\]

\[\textbf{curl} \,\textbf{E} = -\dot{\bf{B}} \tag{15.11.4} \label{15.11.4}\]

Si escribimos los campos en términos de los potenciales:

\[\textbf{E} = -\dot{\textbf{A}} - \textbf{grad}V \tag{15.11.5} \label{15.11.5}\]

y\[\textbf{B} = \textbf{curl A}, \tag{15.11.6} \label{15.11.6}\]

junto con\(\textbf{D} = \epsilon \textbf{E}\) y\(\textbf{B} = \mu \textbf{H}\) , obtenemos para la primera ecuación de Maxwell, después de algunos cálculos vectoriales y álgebra,

\[\bigstar \quad \nabla^2V + \frac{\partial}{\partial t}(\text{div} \ \textbf{A}) = -\frac{\rho}{\epsilon}. \tag{15.11.7} \label{15.11.7}\]

Para la segunda ecuación, simplemente verificamos que cero es igual a cero. (\(\text{div} \ \textbf{curl A}=0\).)

Para la tercera ecuación, que requiere un poco más de cálculo vectorial y álgebra, obtenemos

\[\bigstar \quad \nabla^2 \textbf{A} - \epsilon \mu \frac{\partial^2 \textbf{A}}{\partial t^2} = \textbf{grad} \left( \text{div} \ \textbf{A} + \epsilon \mu \frac{\partial V}{\partial t} \right) - \mu \textbf{J}. \tag{15.11.8} \label{15.11.8}\]

La velocidad de las ondas electromagnéticas en el medio es\(1/\sqrt{\epsilon \mu}\) and, in a vacuum, equation 15.11.8 becomes

\[\bigstar \quad \nabla^2 \textbf{A} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \textbf{A}}{\partial t^2} = \textbf{grad} \left(\text{div} \ \textbf{A} + \frac{1}{c^2} \frac{\partial V}{\partial t} \right) - \mu_0 \textbf{J}, \tag{15.11.9} \label{15.11.9}\]

donde\(c\) is the speed of electromagnetic waves in a vacuum.

La cuarta ecuación de Maxwell, cuando se escribe en términos de los potenciales, no nos dice nada nuevo (pruébalo), entonces ecuaciones\(\ref{15.11.7}\) and \(\ref{15.11.8}\) (or \(\ref{15.11.9}\) in vacuo) are Maxwell’s equations in potential form.

Estas ecuaciones parecen muy difíciles, pero quizás podamos encontrar una transformación de calibre, usando alguna forma para\(\chi\), y restando\(\textbf{grad} \ \xi\) de\(\textbf{A}\) and adding \(\xi\) to \(V\), which will make the equations much easier and which will still give the right answers for \(\textbf{E}\) and for \(\textbf{B}\).

Una de las cosas que hacen ecuaciones\(\ref{15.11.7}\) and \(\ref{15.11.9}\) look particularly difficult is that each equation contains both \(\textbf{A}\) and \(V\); that is, we have two simultaneous differential equations to solve for the two potentials. It would be nice if we had one equation for \(\textbf{A}\) and one equation for \(V\). This can be achieved, as we shall shortly see, if we can find a gauge transformation such that the potentials are related by

\[\text{div} \ \textbf{A} = - \frac{1}{c^2} \frac{\partial V}{\partial t}. \tag{15.11.10} \label{15.11.10}\]

Debe verificar que los dos lados de esta ecuación son dimensionalmente similares. ¿Cuáles serían las unidades SI?

Verás que esto se elige para hacer la parte “difícil” de la ecuación\(\ref{15.11.9}\) zero.

Si hacemos una transformación de calibre y tomamos la divergencia de la ecuación 15.10.5 y la derivada temporal de la ecuación 15.10.6, entonces vemos\(\ref{15.11.10}\) will be satisfied by a function \(\chi\) esa condición que satisface

\[\nabla^2 \xi - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2} = - \text{div} \textbf{A}^{\prime} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial V^{\prime}}{\partial t}.\tag{15.11.11} \label{15.11.11}\]

No te preocupes, no tienes que resolver esta ecuación y encontrar la función\(\chi\) ; solo tienes que estar seguro de que tal función existe de tal manera que, cuando se aplica a los potenciales, los potenciales estar relacionado por ecuación\(\ref{15.11.10}\). Then, if you substitute equation \(\ref{15.11.10}\) into Maxwell’s equations in potential form (equations \(\ref{15.11.7}\) and \(\ref{15.11.9}\)), you obtain the following forms for Maxwell’s equations in vacuo in potential form, and the \(\textbf{A}\) and \(V\) are now separated:

\[\bigstar \quad \nabla^2 V - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 V}{\partial t^2} = -\frac{\rho}{\epsilon_0} \tag{15.11.12} \label{15.11.12}\]

y\[\bigstar \quad \nabla^2 \textbf{A} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\textbf{A}}{\partial t^2} = - \mu_0 \textbf{J}. \tag{15.11.13} \label{15.11.13}\]

Y, dado que estas ecuaciones fueron alcanzadas por una transformación de calibre, sus soluciones, cuando se diferencian, darán las respuestas adecuadas para los campos.