15.12: Potencial retardado

En una situación estática, en la que la densidad de carga\(\rho\), la densidad de corriente\(\textbf{J}\), el campo eléctrico\(\textbf{E}\) y el potencial\(V\), y el campo magnético\(\textbf{B}\) y el potencial\(\textbf{A}\) son constantes en el tiempo (es decir, son funciones de\(x\),\(y\) y\(z\), pero no de\(t\)) ya sabemos calcular, al vacfo, el potencial eléctrico a partir de la densidad de carga eléctrica y el potencial magnético a partir de la densidad de corriente. Las fórmulas son

\[V(x,y,z) = \dfrac{1}{4 \pi \epsilon_o} \int \dfrac{\rho(x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime}) dv^{\prime}}{R} \tag{15.12.1} \label{15.12.1}\]

y

\[\textbf{A}(x,y,z) = \dfrac{\mu_o}{4 \pi } \int \dfrac{\textbf{J} (x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime}) dv^{\prime}}{R} \tag{15.12.2} \label{15.12.2}\]

Él re\(R\) es la distancia entre el punto\((x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime})\) y el punto\((x,y,z)\) y\(v^{\prime}\) es un elemento de volumen en el punto\((x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime})\). No puedo recordar si antes hemos escrito estas dos ecuaciones exactamente en esa forma, pero ciertamente las hemos usado, y dado muchos ejemplos de cálculo\(V\) en el Capítulo 2, y uno de cálculo\(\textbf{A}\) en la Sección 9.3.

La pregunta que ahora vamos a abordar es si estas fórmulas siguen siendo válidas en una situación no estática, en la que la densidad de carga\(\rho\) , la densidad de corriente\(\textbf{J}\) , el campo eléctrico\(\textbf{E}\) y el potencial\(V\), and the magnetic field \(\textbf{B}\)\(\textbf{A}\) y el potencial varían en el tiempo (es decir, son funciones de x, y, z y t). La respuesta es “sí, pero...”. Las fórmulas relevantes son, de hecho

\[V(x,y,z,t) = \dfrac{1}{4 \pi \epsilon_o} \int \dfrac{\rho(x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime},t^{\prime}) dv^{\prime}}{R} \tag{15.12.3} \label{15.12.3}\]

y

\[\textbf{A}(x,y,z,t) = \dfrac{\mu_o}{4 \pi } \int \dfrac{\textbf{J} (x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime},t^{\prime}) dv^{\prime}}{R} \tag{15.12.4} \label{15.12.4}\]

... pero observe el\(t^{\prime}\) on the right hand side and the \(t\) on the left hand side! What this means is that, si\(\rho(x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime},t^{\prime})\) es la densidad de carga en un punto\((x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime})\) en el tiempo\(t^{\prime}\), la ecuación\(\ref{15.12.3}\) da el potencial correcto en el punto\((x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime})\) en algún momento ligeramente posterior\(t\),\(t-t^{\prime}\) siendo la diferencia de tiempo igual a la tiempo\(R/c\) que tarda una señal electromagnética en viajar de\((x,y,z)\) a\((x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime})\). Si\((x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime})\) cambia la densidad de carga, la información sobre este cambio no puede llegar al punto instantáneamente; toma un tiempo\(R/c\) para que la información se transmita de un punto a otro. Las mismas consideraciones se aplican al cambio en el potencial magnético cuando cambia la densidad de corriente, como se describe por la ecuación\(\ref{15.12.4}\). Los potenciales así calculados se denominan, naturalmente, los potenciales retardados. Si bien este resultado se ha llegado a través de un argumento cualitativo, de hecho las ecuaciones\(\ref{15.12.3}\) y se\(\ref{15.12.4}\) pueden obtener como solución de las Ecuaciones diferenciales 15.11.12 y 15.11.13. Matemáticamente también hay una solución que da un “potencial de avance” —es decir, uno en el que\(t^{\prime}-t\) más que\(t-t^{\prime}\) es igual a\(R/c\). Se puede considerar, si lo desea, la solución retardada como la solución “físicamente aceptable” y descartar la solución “anticipada” como no siendo físicamente significativa.Es decir, el potencial no puede predecir de antemano que la densidad de carga está a punto de cambiar, y así cambiar su valor antes que la densidad de carga lo haga. Alternativamente se puede pensar que las leyes de la física, al menos desde el punto de vista matemático, permiten que el universo corra igual de bien tanto hacia atrás como hacia adelante, aunque de hecho la flecha del tiempo es tal que la causa debe preceder al efecto (condición que, en la relatividad, lleva a la conclusión de que la información no puede ser transmitido de un lugar a otro a una velocidad más rápida que la velocidad de la luz). También se recuerda que las leyes de la física, al menos desde el punto de vista matemático, permiten disminuir la entropía de un sistema termodinámico aislado (ver Sección 7.4 en la parte Termodinámica de estas notas) —aunque en el universo real la flecha del tiempo es tal que la entropía de hecho aumenta. Recordemos también el siguiente pasaje de A través del espejo y Lo que Alice encontró allí.

Adenda . Casualmente, apenas dos días después de haber completado este capítulo, recibí el número de febrero de 2005 de Astronomy & Geophysics, que incluía un fascinante artículo sobre la Flecha del Tiempo. Tal vez quieras buscarlo. El referente es Davis, P., Astronomy & Geophysics (Royal Astronomical Society) 46, 26 (2005).