16.6: Dimensiones

Un libro dice que el ancho equivalente\(W\), en unidades de longitud de onda, de una línea de espectro, está relacionado con el número de átomos por unidad de área en la línea de visión,\(N\), por

\[W= \frac{\pi e^2 N \lambda^2}{mc^2}.\]

¿Esta fórmula está bien en algún sistema de unidades? ¿Puedo usar unidades SI en el lado derecho y obtener la respuesta en metros? ¿O debo usar un determinado conjunto de unidades para obtener la respuesta correcta? Y si es así, ¿qué unidades?

Un libro dice que la velocidad a la que se irradia la energía,\(P\), de una carga acelerada es

\[P = \frac{2e^2\ddot x^2}{c^3}. \]

¿Es esto correcto? ¿Es\(c\) la velocidad de la luz, o es simplemente un factor de conversión entre diferentes unidades? ¿O uno de los\(c\) s es un factor de conversión, y los otros dos son la velocidad de la luz?

Es posible encontrar la respuesta a preguntas tan desconcertantes, si hacemos un poco de análisis dimensional. Entonces, antes de intentar responder a estas preguntas específicas (que haré más adelante como ejemplos) voy a presentar una tabla de dimensiones. Ya di una tabla de dimensiones de cantidades eléctricas en el Capítulo 11, en términos de\(\text{M, L, T}\) y\(\text{Q}\), pero esa tabla no va a ser particularmente útil en el contexto actual.

Señalé en la Sección 16.1 del presente capítulo que la ley de Coulomb a menudo se escribe en la forma

\[F= \frac{Q_1Q_2}{r^2}.\]

En consecuencia las dimensiones de\(Q\) se consideran\([Q]= \text{M}^{1/2}\text{L}^{3/2}\text{T}^{-1}\). Pero sabemos que falta una permitividad en el denominador de la ecuación 16.6.3, porque el escritor pretende que su fórmula se restrinja a un determinado conjunto de unidades tales que\(k\) o\(4 \pi \epsilon_0 = 1\). Para detectar si se ha omitido una permitividad de una ecuación, necesitamos una tabla en la que se den las dimensiones de las cantidades eléctricas no en términos\(\text{M, L, T}\) y\(\text{Q}\) como en el Capítulo 11, sino en términos de\(\text{M, L, T}\) y\(\epsilon\), y esto es lo que estoy a punto de hacer. Sin embargo, muchas veces es la permeabilidad la que se ha omitido de una ecuación, y, para detectar si esto es así, también estoy suministrando una tabla en la que se dan las dimensiones de las cantidades eléctricas en términos de\(\text{M, L, T}\) y\(\mu\).

Si, a partir del análisis dimensional, encuentra que una expresión es dimensionalmente incorrecta por una potencia de la permitividad, inserte\(4\pi \epsilon_0\) en la parte apropiada de la ecuación. Si encuentra que una expresión es dimensionalmente incorrecta por una potencia de la permeabilidad, inserte\(\mu_0 / (4 \pi)\) en la parte apropiada de la ecuación. Si encuentra que la ecuación es incorrecta por\(\text{LT}^{-1}\), inserte o elimine\(c\) según corresponda. Su ecuación entonces se equilibrará dimensionalmente y estará lista para su uso en cualquier sistema coherente de unidades, incluyendo SI. Este procedimiento probablemente funcionará en la mayoría de los casos, pero no puedo garantizar que funcione en todos los casos, porque no puede tratar con esos (¡frecuentes!) casos en los que la fórmula dada es simplemente incorrecta, ¡cualesquiera que sean las unidades que se utilicen!

Ahora veamos la ecuación para el ancho equivalente de una línea de espectro:

\[\nonumber W= \frac{\pi e^2 N \lambda^2}{mc^2}. \tag{16.6.1}\]

Aquí\([W] = \text{L}\) y\([N] = \text{L}^{-2}\). Al hacer uso de la mesa encontramos que las dimensiones del lado derecho son\(\text{L} \epsilon\). Por lo tanto,\(4 \pi \epsilon_0\) falta en el denominador, y la ecuación debería ser

\[W = \frac{\pi e^2 N \lambda^2}{4 \pi \epsilon_0 m c^2}.\]

¿Qué tal la velocidad a la que se irradia energía de una carga acelerada?

\[\nonumber P = \frac{2e^2\ddot x^2}{c^3}. \tag{16.6.2}\]

El poder tiene dimensiones\(\text{ML}^2 \text{T}^{−3}\), mientras que las dimensiones del lado derecho son\(\text{ML}^2 \text{T}^{−3} \epsilon\), así que de nuevo hay una\(4 \pi \epsilon_0\) falta en el denominador y la fórmula debe ser

\[P = \frac{2 e^2 \ddot x^2}{4 \pi \epsilon_0 c^3}.\]

A menudo ocurre que hay un\(4 \pi \epsilon_0\) faltante en el denominador son fórmulas que tienen una\(e^2\) planta alta.

Las fórmulas “electromagnéticas” suelen dar más dificultad. Por ejemplo, un libro dice que la energía por unidad de volumen en un campo magnético al vacio es\(\frac{B^2}{8 \pi}\), mientras que otro dice que es lo es\(\frac{H^2}{8 \pi}\). ¿Cuál es (si efectivamente lo es)? La energía por unidad de volumen tiene dimensiones\(\text{ML}^{−1} \text{T}^{−2}\). Las dimensiones de\(B^2\) son\(\text{ML}^{−1} \text{T}^{−2} \mu\). Por lo tanto, la ecuación dada es incorrecta dimensionalmente por permeabilidad, y la ecuación debe dividirse por\(\mu_0 / (4 \pi)\) para dar\(B^2/(2\mu_0)\), lo cual es correcto. Por otro lado, las dimensiones de\(H^2\) son\(\text{ML}^{−1} \text{T}^{−2} \mu^{−1}\), entonces tal vez deberíamos multiplicar por\(\mu_0/(4 \pi)\)? Pero esto no da una respuesta correcta, y ejemplifica algunas de las muchas dificultades que se producen al escribir fórmulas que no se equilibran dimensionalmente y están destinadas a ser utilizadas únicamente con un determinado conjunto de unidades. La situación es particularmente difícil con respecto al momento magnético, tema al que dedicaré el siguiente capítulo.