17.6: Trece preguntas

Hemos visto que la definición SI de momento magnético se define inequívocamente como el par máximo experimentado en el campo externo de la unidad. Sin embargo, algunos autores prefieren pensar en el momento magnético como el producto del campo ecuatorial y el cubo de la distancia. Así, existen dos conceptos conceptualmente diferentes de momento magnético y, cuando a estos se añaden detalles menores sobre si el campo magnético es\(B\) o\(H\), y si la permeabilidad debe incluir o no el factor\(4 \pi\), seis posibles definiciones de momento magnético, descritas en Se plantea la sección 17.6, todas las cuales se encuentran en la literatura actual.

Sin embargo, independientemente de cómo se elija definir el momento magnético, ya sea la definición de SI o alguna otra definición poco convencional, debería ser fácilmente posible responder a las dos preguntas siguientes:

A. Dada la magnitud del campo ecuatorial en el ecuador de un imán, ¿cuál es el par máximo que experimentaría ese imán si se colocara en un campo externo?

B. Dado el par máximo que experimenta un imán cuando se coloca en un campo externo, ¿cuál es la magnitud del campo ecuatorial producido por el imán?

Seguramente hay que reconocer que el hecho de no poder responder a preguntas tan básicas indica una falta de comprensión de lo que se entiende por momento magnético.

Por lo tanto, ahora hago una serie de trece preguntas. Las seis primeras son preguntas de tipo A, en las que utilizo las seis posibles definiciones de momento magnético. Las siguientes seis son preguntas similares de tipo B. Y la última es una pregunta absurdamente sencilla, a la que cualquiera que crea entender el significado del momento magnético debería poder responder fácilmente.

1. La magnitud del campo en el plano ecuatorial de un imán a una distancia de 1 cm es de 1 Oe.

¿Cuál es el par máximo que experimentará este imán en un campo magnético externo de 1 Oe, y cuál es su momento magnético?

Tenga en cuenta que, en esta pregunta y en las siete siguientes debe haber una respuesta única para el par. La respuesta que des para el momento magnético, sin embargo, dependerá de cómo elijas definir el momento magnético, y de si eliges dar la respuesta en unidades SI o CGS EMU.

2. La magnitud del campo en el plano ecuatorial de un imán a una distancia de 1 cm es 1\(\text{Oe}\).

¿Cuál es el par máximo que experimentará este imán en un campo magnético externo de 1\(\text{G}\), y cuál es su momento magnético?

3. La magnitud del campo en el plano ecuatorial de un imán a una distancia de 1 cm es 1\(\text{G}\).

¿Cuál es el par máximo que experimentará este imán en un campo magnético externo de 1\(\text{Oe}\), y cuál es su momento magnético?

4. La magnitud del campo en el plano ecuatorial de un imán a una distancia de 1 cm es 1\(\text{G}\).

¿Cuál es el par máximo que experimentará este imán en un campo magnético externo de 1\(\text{G}\), y cuál es su momento magnético?

5. La magnitud del campo en el plano ecuatorial de un imán a una distancia de 1\(\text{m}\) es 1\(\text{A m}^{-1}\).

¿Cuál es el par máximo que experimentará este imán en un campo magnético externo de 1\(\text{A m}^{-1}\), y cuál es su momento magnético?

6. La magnitud del campo en el plano ecuatorial de un imán a una distancia de 1\(\text{m}\) es 1\(\text{A m}^{-1}\).

¿Cuál es el par máximo que experimentará este imán en un campo magnético externo de 1\(\text{T}\), y cuál es su momento magnético?

7. La magnitud del campo en el plano ecuatorial de un imán a una distancia de 1\(\text{m}\) es 1\(\text{T}\).

¿Cuál es el par máximo que experimentará este imán en un campo magnético externo de 1\(\text{A m}^{-1}\), y cuál es su momento magnético?

8. La magnitud del campo en el plano ecuatorial de un imán a una distancia de 1\(\text{m}\) es 1\(\text{T}\).

¿Cuál es el par máximo que experimentará este imán en un campo magnético externo de 1\(\text{T}\), y cuál es su momento magnético?

9. Un imán experimenta un par máximo de 1 dyn cm si se coloca en un campo de 1\(\text{Oe}\). ¿Cuál es la magnitud del campo en el plano ecuatorial a una distancia de 1 cm, y cuál es el momento magnético?

Tenga en cuenta que, en esta pregunta y en las tres siguientes debe haber una respuesta única para\(B\) y una respuesta única para\(H\), aunque cada una puede expresarse en SI o en CGS EMU, mientras que la respuesta para el momento magnético depende de qué definición adopte.

10. Un imán experimenta un par máximo de 1 dyn cm si se coloca en un campo de 1\(\text{G}\). ¿Cuál es la magnitud del campo en el plano ecuatorial a una distancia de 1 cm, y cuál es el momento magnético?

11. Un imán experimenta un par máximo de 1\(\text{N}\) m si se coloca en un campo de 1\(\text{A m}^{-1}\). ¿Cuál es la magnitud del campo en el plano ecuatorial a una distancia de 1\(\text{m}\), y cuál es el momento magnético?

12. Un imán experimenta un par máximo de 1\(\text{N m}\) si se coloca en un campo de 1\(\text{T}\). ¿Cuál es la magnitud del campo en el plano ecuatorial a una distancia de 1\(\text{m}\), y cuál es el momento magnético?

Plantaré la Pregunta Número 13 un poco más tarde. Mientras tanto las respuestas a las cuatro primeras preguntas se dan en Tabla\(\text{XVII.2}\), y las respuestas a las Preguntas 5 — 12 se dan en Tablas\(\text{XVII.3}\) y\(4\). La gran complejidad de estas respuestas a preguntas absurdamente simples es consecuencia de diferentes usos por parte de varios autores del significado de “momento magnético” y de apartarse del uso estándar de SI.

\(\text{TABLE XVII.2}\)
RESPUESTAS A LAS PREGUNTAS 1 — 4 EN UNIDADES CGS EMU Y SI
Las respuestas a las cuatro primeras preguntas son idénticas

\(\text{TABLE XVII.3}\)
RESPUESTAS A PREGUNTAS 5 — 8 EN UNIDADES CGS EMU Y SI

\ begin {array} {l l c\ quad c\ quad c\ quad c\ quad l}
& & & 5 & 6 & 7 & 8 &\
\\ tau & = & (4\ pi) ^2 & 4\ pi\ times 10^7 & 4\ pi\ times 10^7 & 10^ {14} &\ text {dyn cm}\\
& = & (4\ pi) ^2\ times 10^ {-7} y 4\ pi y 4\ pi & 10^7 &\ texto {N m}\\
&&&&&&&&&\
p_1 & = & 4\ pi\ veces 10^3 & 4\ pi\ veces 10^3 & 10^ {10} & 10^ {10} &\ text {dyn cm Oe} ^ {-1}\\ & = & (4\ pi) ^2\
veces 10^ {-7} & (4\ pi) & (4\ pi) ^2\ veces 10^ {-7} & (4\ pi)\ pi) ^2\ veces 10^ {-7} y 4\ pi y amp; 4\ pi &\ text {N m (A/m)} ^ {-1}\\
&&&&&&&&&&&\
p_2 & = & 4\ pi\ veces 10^3 & 4\ pi\ veces 10^3 & 10^ {10} & 10^ {10} &\ text {dyn cm G} ^ {-1}\\
& = & 4\ pi y 10^7 & 10^7 &\ texto {N m T} ^ {-1}\\
&&&&&&&\
p_3 & = & 4\ pi\ veces 10^3 & 4\ pi\ veces 10^3 & 10^ {10} & 10^ {10} &\ text {G cm} ^3\\
& = & 4\ pi\ veces 10^ {-7} & 4\ pi\ veces 10^ {-7} & 1 &\ texto {T m} ^3\\
& ; &&&&\\
p_4 & = & 4\ pi\ times 10^3 & 4\ pi\ times 10^3 & 10^ {10} & 10^ {10} &\ text {Oe cm} ^3\\
& = & 1 & 1 & 10^7/ (4\ pi) & 10^7/ (4\ pi) &\ text {A m} ^2\
&&&&&&&&&&&&\\
p_5 & = & (4\ pi) ^2\ veces 10^3 & (4\ pi) ^2\ veces 10^3 & 4\ pi\ veces 10^ {10} & 4\ pi\ veces 10^ {10} &\ texto {G cm} ^3\\
& = & (4\ pi) ^2\ pi) ^2\ veces 10^ {-7} & (4\ pi) ^2\ veces 10^ {-7} & 4\ pi & 4\ pi &\ texto {T m} ^3\\
&&&&&&&& amp;\\
p_6 & = & (4\ pi) ^2\ times 10^3 & (4\ pi) ^2\ times 10^3 & 4\ pi\ times 10^ {10} & 4\ pi\ times 10^ {10} &\ text {Oe cm} ^3\\
& = & 4\ pi & 4\ pi y 10^7 & 10^7 &\ text {A m} 2\\
\ fin {matriz}

\(\text{TABLE XVII.4}\)
RESPUESTAS A PREGUNTAS 9 — 12 EN UNIDADES CGS EMU Y SI

\ begin {array} {l l c c c c l}
& & & 9 & 10 & 11 & 12 &\\
B & = & 1 & 1 & 10^4/ (4\ pi) & 10^ {-3} & G\\
& = & 10^ {-4} & 10^ {-4} & 1/ (4\ pi) & 10^ {-7} & T\\
&&&&&&& \\
H & = & 1 & 1 & 10^4/ (4\ pi) & 10^ {-3} &\ text {Oe}\\
& = & 10^3/ (4\ pi) & 10^3/ (4\ pi) & 10^7/ (4\ pi) ^2 & 1/ (4\ pi) &\ text {A m} ^ {-1}\\
&&&&&&\\
p_1 & = & 1 & 1 & 10 ^ {10}/(4\ pi) & 10^3 &\ texto {dyn cm Oe} ^ {-1}\\
& = & 4\ pi\ veces 10^ {-10} & 4\ pi\ veces 10^ {-10} & 1 & 4\ pi\ veces 10^ {-7} &\ text {N m (A/m)} ^ {-1}\\

&&&&&&&&&&&&&p_2 & = & 1 & 1 & 10^ {10}/(4\ pi) & amp; 10^3 &\ text {dyn cm G} ^ {-1}\\
& = & 10^ {-3} & 10^ {-3} & 10^7/ (4\ pi) & 1 &\ text {N m T} ^ {-1}\\
&&&&&&&\
p_3 & = & 1 & 1 & 10^4/ (4\ pi) & 10^ {-3} &\ texto {G cm} ^3\\
& amp; = & 10^ {-10} & 10^ {-10} & 10^ {-6}/(4\ pi) & 10^ {-13} &\ text {T m} ^3\\
&&&&&&&&&\
p_4 & = & 1 & 1 & 10^4/ (4\ pi) & 10^ {-3} &\ text {Oe cm} ^3\
& = & 10^ {-3}/(4\ pi) y 10^ {-3}/(4\ pi) y amp; 10/ (4\ pi) ^2 & 10^ {-6}/(4\ pi) &\ text {A m} ^2\\
&&&&&&&&&\
p_5 & = & 4\ pi & 10^4\ pi\ veces 10^ {-3} &\ text {G cm} ^3\\
& = & 4\ pi\ veces 10^ {-10} & 4\ pi\ veces 10^ {-10} y 10^ {-6} & amp; 4\ pi\ times 10^ {-13} &\ text {T m} ^3\\
&&&&&&&&&&\\
p_6 & = & 4\ pi & 4\ pi & 10^4 & 4\ pi\ times 10^ {-3} &\ text {Oe cm} ^3\
& = & 10^ {-3} & 10^ {-3} & 10/ (4\ pi) & 10^ {-6} &\ texto {A m} ^2\\
\ end {matriz}

La decimotercera y última de estas preguntas es la siguiente: Supongamos que la Tierra es una esfera de radio\(6.4 \times 10^6 \text{m} = 6.4 \times 10^8 \text{cm}\), y que el campo superficial en el ecuador magnético es\(B = 3\times 10^{-5} ,\ \text{T}=0.3 \ \text{G}, \text{or} \ H = 75/\pi \ \text{A m}^{-1} = 0.3 \ \text{Oe}\), ¿cuál es el momento magnético de la Tierra? Es difícil imaginar una pregunta más directa, sin embargo, sería difícil encontrar a dos personas que dieran la misma respuesta.

La respuesta SI (que, para mí, es la única respuesta) es

\[B = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{p}{r^3}, \ \therefore \ p=\frac{4\pi r^3 B}{\mu_0}=\frac{4\pi \times (6.4 \times 10^6)^3 \times 3 \times 10^{-5}}{4\pi \times 10^{-7}}=7.86 \times 10^{22} \ \text{N m T}^{-1}.\]

Este resultado predice correctamente que, si la Tierra se colocara en un campo externo de\(1 \ \text{T}\), experimentaría un par máximo de\(7.86 \times 10^{22} \ \text{N m}\), y este es el significado normal de lo que se entiende por momento magnético.

Un cálculo en GCS podría proceder así:

\[B = \frac{p}{r^3}, \ \therefore \ p = r^3 B = (6.4 \times 10^8)^3 \times 0.3 = 7.86 \times 10^{25} \ \text{G cm}^3.\]

¿Es este el mismo resultado que se obtuvo del cálculo del SI? Podemos utilizar las conversiones\(1 \ \text{G} = 10^{-4} \text{T}\) y\(1 \ \text{cm}^3 = 10^{-6} \text{m}^3\), y obtenemos

\[p = 7.86 \times 10^{15} \text{T m}^3.\]

Llegamos a un número que no sólo difiere del cálculo del SI en\(10^7\), sino que se expresa en unidades muy diferentes, dimensionalmente disímiles.

Quizás el cálculo del CGS debería ser

\[H = \frac{p}{r^3}, \ \therefore \ p = r^3H = (6.4 \times 10^8)^3 \times 0.3 = 7.86 \times 10^{25} \ \text{Oe cm}^3.\]

Ahora\(1 \ \text{Oe} = 1000/(4\pi) \ \text{A m}^{-1}\) y\(1 \ \text{cm}^3 = 10^{-6} \text{m}^3\), y obtenemos

\[p=6.26 \times 10^{21} \text{A m}^2\]

Esta vez llegamos a unidades SI que son dimensionalmente similares a\(\text{N m T}^{-1}\), y que son unidades SI perfectamente correctas, pero el momento magnético es menor de lo predicho correctamente por el cálculo del SI en un factor de 12.6.

Una vez más, podríamos hacer lo que parece hacer frecuentemente los científicos planetarios, y podemos multiplicar el campo de superficie\(\text{T}\) por el cubo del radio adentro\(\text{m}\) para obtener

\[p=7.86 \times 10^{15} \ \text{T m}^3.\]

Esto llega al mismo resultado que uno de los cálculos de CGS, pero, sea lo que sea, no es el momento magnético en el sentido del mayor par en un campo unitario. La cantidad así obtenida parece ser nada más que el producto del campo ecuatorial superficial y el cubo del radio, y como tal parecería ser un cálculo sin propósito y sin sentido.

Sería mucho más significativo simplemente multiplicar el valor superficial de\(H\) por 3. Esto de hecho daría (correctamente) el momento dipolar dividido por el volumen de la Tierra, y de ahí sería la magnetización promedio de la Tierra —una cantidad muy significativa, que sería útil para comparar las propiedades magnéticas de la Tierra con las de los otros planetas.