2.4: Polarización y Cribado

Los principios básicos de la electrostática esbozados en el Capítulo 1 presentan la solución conceptualmente completa al problema de encontrar el campo electrostático (y por lo tanto las fuerzas de Coulomb) inducidas por cargas eléctricas distribuidas sobre el espacio con densidad\(\ \rho(\mathbf{r})\). Sin embargo, en la mayoría de las situaciones prácticas, esta función no se conoce pero se debe encontrar de manera consistente con el campo. Por ejemplo, si un volumen de material relativamente denso se coloca en un campo eléctrico externo, normalmente se polariza, es decir, adquiere algunas cargas locales propias, que contribuyen al campo eléctrico total\(\ \mathbf{E}(\mathbf{r})\) dentro, e incluso fuera de él — ver Fig. 1a.

Fig. 2.1. Dos situaciones electrostáticas típicas que involucran conductores: (a) polarización por un campo externo, y (b) redistribución de la propia carga del conductor sobre su superficie —esquemáticamente. Aquí y abajo, los puntos rojos y azules denotan cargas de signos opuestos.

La solución completa de tales problemas debe satisfacer no sólo la ecuación fundamental (1.7) sino también las llamadas relaciones constitutivas entre las variables macroscópicas que describen el material del cuerpo. Debido al carácter atómico de los materiales reales, tales relaciones pueden estar muy involucradas. En esta parte de mi serie, tendré tiempo para abordar estas relaciones, para diversos materiales, sólo de manera bastante superficial, ¹ centrándose en sus simples aproximaciones. Afortunadamente, en la mayoría de los casos prácticos tales aproximaciones funcionan muy bien.

En particular, para la polarización de buenos conductores, se da una aproximación muy razonable por el llamado modelo macroscópico, en el que las cargas libres en el conductor son tratadas como un continuo cargado que es libre de moverse bajo el efecto de la fuerza\(\ \mathbf{F}=q \mathbf{E}\) ejercida por la eléctrica macroscópica campo\(\ \mathbf{E}\), es decir, el campo promediado sobre la escala atómica — véase también la discusión al final de la Sec. 1.1. En electrostática (que excluye el caso de corrientes dc, que se discutirá en el Capítulo 4 a continuación), no debe haber tal movimiento, de manera que en todas partes dentro del conductor el campo eléctrico macroscópico debe desaparecer:

\[\ \mathbf{E}=0.\tag{2.1a}\]

Conductor: modelo macroscópico

Este es el efecto de apantallamiento de campo eléctrico ², lo que significa, en particular, que la polarización del conductor en un campo eléctrico externo tiene la forma extrema mostrada (más bien esquemáticamente) en la figura 1a, con el campo de las cargas superficiales inducidas compensando completamente el campo externo en el bulto del conductor. Tenga en cuenta que la Ec. (1a) puede ser reescrita en otra forma, frecuentemente más conveniente:

\[\ \phi=\mathrm{const},\tag{2.1b}\]

donde\(\ \phi\) está el potencial electrostático macroscópico, relacionado con el campo eléctrico macroscópico por la Ec. (1.33). (Si un problema incluye varios conductores no conectados, la constante en la ecuación (1b) puede ser específica para cada uno de ellos).

Ahora examinemos lo que podemos decir sobre el campo eléctrico justo afuera de un conductor, dentro del mismo modelo macroscópico. En proximidad cercana, cualquier superficie lisa (en nuestro caso actual, la de un conductor) se ve plana. Integremos la ecuación (1.28) sobre un bucle\(\ (d<<l)\) rectangular estrecho que\(\ C\) circunda una parte de la superficie de dicho conductor plano (ver la línea discontinua en la Fig. 2a), y apliquemos al vector de campo eléctrico\(\ \mathbf{E}\) la conocida igualdad de álgebra vectorial, el teorema de Stokes ³

\[\ \oint_{S}(\nabla \times \mathbf{E})_{n} d^{2} r=\oint_{C} \mathbf{E} \cdot d \mathbf{r}\tag{2.2}\]

donde cualquier superficie\(\ S\) está limitada por el contorno\(\ C\).

Fig. 2.2. (a) La capa de carga superficial en la superficie de un conductor, y (b) las líneas de campo eléctrico y las superficies equipotenciales cercanas a ella.

En nuestro caso actual, el contorno está dominado por dos líneas rectas de longitud\(\ l\), de manera que si\(\ l\) es mucho menor que la escala espacial característica de los cambios de campo pero mucho mayor que las distancias interatómicas, el lado derecho de la Ec. (2) puede aproximarse bien como\(\ \left[\left(E_{\tau}\right)_{\text {in }}-\left(E_{\tau}\right)_{\text {out }}\right] l\), donde \(\ E_{\tau}\)es el componente tangencial del campo macroscópico correspondiente, paralelo a la superficie. Por otro lado, según la Ec. (1.28), el lado izquierdo de la Ecuación (2) es igual a cero. Por lo tanto, el componente del campo macroscópico\(\ E_{\tau}\) debe ser continuo en la superficie, y para satisfacer la Ec. (1a) dentro del conductor, el componente tiene que desaparecer inmediatamente fuera de él:\(\ \left(E_{\tau}\right)_{\text {out }}=0\). Esto significa que el potencial electrostático inmediatamente fuera de una superficie conductora no cambia a lo largo de ella. En otras palabras, las superficies equipotenciales fuera de un conductor deben “inclinarse” a la superficie del conductor, con sus valores de potencial
acercándose al potencial constante del conductor — ver Fig. 2b.

Entonces, el campo electrostático justo afuera de cualquier conductor tiene que ser normal a su superficie. Para encontrar este campo normal, podemos usar la relación universal (1.24). Ya que en nuestro caso actual\(\ E_{n}=0\) dentro del conductor, obtenemos

Densidad de carga superficial

\[\ \sigma=\varepsilon_{0}\left(E_{n}\right)_{\text {out }} \equiv-\varepsilon_{0}(\nabla \phi)_{n} \equiv-\varepsilon_{0} \frac{\partial \phi}{\partial n},\tag{2.3}\]

donde\(\ \sigma\) es la densidad de área de la carga superficial del conductor. Obsérvese que derivando esta relación universal entre el componente normal del campo y la densidad de carga superficial, no se ha utilizado ningún argumento causa-vs-efecto, por lo que la Ec. (3) es válida independientemente de que la carga superficial sea inducida por un campo aplicado externamente (como en el caso de los conductores polarización, mostrada en la Fig. 1a), o el campo eléctrico es inducido por la carga eléctrica colocada sobre el conductor y luego auto-redistribuida sobre su superficie (Fig. 1b), o bien es alguna mezcla de ambos efectos.

Antes de comenzar a utilizar el modelo macroscópico para la solución de problemas particulares de la electrostática, permítanme usar el balance de esta sección para discutir brevemente sus limitaciones. (El lector con prisa puede saltarse esta discusión y proceder a la Sec. 2; sin embargo, creo que todo físico educado tiene que entender cuándo funciona este modelo, y cuándo no.)

Dado que la argumentación que ha llevado a la ecuación (1.24) y por lo tanto a la ecuación (3) es válida para cualquier grosor\(\ d\) del pastillero Gauss, dentro del modelo macroscópico, toda la carga superficial se ubica dentro de una capa superficial infinitamente delgada. Esto es por supuesto imposible físicamente: para uno, esto requeriría una densidad volumétrica infinita\(\ \rho\) de la carga. En realidad, la capa cargada (y por lo tanto la región de cruce del campo eléctrico desde el valor finito (3) a cero) tiene un grosor distinto de cero\(\ \lambda\). Al menos tres efectos contribuyen a\(\ \lambda\).

i) Estructura atómica de la materia. Dentro de cada átomo, y frecuentemente también entre los átomos adyacentes, el campo eléctrico genuino (“microscópico”) es altamente no uniforme. Así, como ya se indicó anteriormente, la Ec. (1) es válida únicamente para el campo macroscópico en un conductor, promediado sobre distancias del orden de la escala de tamaño atómico\(\ a_{0} \sim 10^{-10} \mathrm{~m}\), ⁴ y no se puede aplicar a los cambios de campo en esa escala. Como resultado, la capa superficial de cargas no puede ser mucho más delgada que\(\ a_{0}\).

(ii) Excitación térmica. En el grueso del conductor, se equilibran los números de protones de núcleos atómicos\(\ (n)\) y electrones\(\ \left(n_{\mathrm{e}}\right)\) por unidad de volumen, de manera que la densidad de carga neta,\(\ \rho=e\left(n-n_{\mathrm{e}}\right)\), se desvanece. ⁵ Sin embargo, si un campo eléctrico externo penetra en un conductor, los electrones libres pueden desplazarse dentro o fuera de su parte afectada, dependiendo de la contribución del campo a su energía potencial,\(\ \Delta U=q_{\mathrm{e}} \phi=-e \phi\). (Aquí\(\ \phi\) se elige la constante arbitraria in para dar\(\ \phi=0\) bien dentro del conductor.) En la estadística clásica, este cambio es descrito por la distribución de Boltzmann: ⁶

\[\ n_{\mathrm{e}}(\mathbf{r})=n \exp \left\{-\frac{U(\mathbf{r})}{k_{\mathrm{B}} T}\right\},\tag{2.4}\]

donde\(\ T\) está la temperatura absoluta en kelvin\(\ (\mathrm{K})\), y\(\ k_{\mathrm{B}} \approx 1.38 \times 10^{-23} \mathrm{~J} / \mathrm{K}\) es la constante de Boltzmann. Como resultado, la densidad de carga neta es

\[\ \rho(\mathbf{r})=e n\left(1-\exp \left\{\frac{e \phi(\mathbf{r})}{k_{\mathrm{B}} T}\right\}\right).\tag{2.5}\]

El campo eléctrico penetrante polariza también los átomos. Como se discutirá en el próximo capítulo, dicha polarización da como resultado la reducción del campo eléctrico por un factor adimensional específico del material\(\ \kappa\) (mayor, pero típicamente no demasiado mayor que 1), llamado constante dieléctrica. Como resultado, la ecuación de Poisson (1.41) toma la forma, ⁷

\[\ \frac{d^{2} \phi}{d z^{2}}=-\frac{\rho}{\kappa \varepsilon_{0}}=\frac{e n}{\kappa \varepsilon_{0}}\left(\exp \left\{\frac{e \phi}{k_{\mathrm{B}} T}\right\}-1\right),\tag{2.6}\]

donde hemos aprovechado la geometría 1D del sistema para simplificar el operador Laplace, con el eje z normal a la superficie.

Incluso con esta simplificación, la ecuación (6) es una ecuación diferencial no lineal que permite una solución analítica pero bastante voluminosa. Dado que nuestro objetivo actual es solo estimar la profundidad de penetración de campo\(\ \lambda\), simplifiquemos aún más la ecuación considerando el límite de campo bajo:\(\ e|\phi| \sim e|E| \lambda<<k_{\mathrm{B}} T\). En este límite, podemos extender el exponente a la serie Taylor, y mantener sólo dos términos principales (de los cuales el primero cancela con la siguiente unidad). Como resultado, la ecuación (6) se vuelve lineal,

\[\ \frac{d^{2} \phi}{d z^{2}}=\frac{e n}{\varepsilon \varepsilon_{0}} \frac{e \phi}{k_{\mathrm{B}} T}, \quad \text { i.e. } \frac{d^{2} \phi}{d z^{2}}=\frac{1}{\lambda^{2}} \phi,\tag{2.7}\]

donde la constante\(\ \lambda\), en este caso, se llama longitud de cribado Debye\(\ \lambda_{\mathrm{D}}\):

Longitud de cribado Debye

\[\ \lambda_{\mathrm{D}}^{2} \equiv \frac{\kappa \varepsilon_{0} k_{\mathrm{B}} T}{e^{2} n}.\tag{2.8}\]

Como el lector ciertamente sabe, la Ec. (7) describe una disminución exponencial del potencial eléctrico, con la longitud característica\(\ \lambda_{\mathrm{D}}\):\(\ \phi \propto \exp \left\{-z / \lambda_{\mathrm{D}}\right\}\), donde el eje z se dirige dentro del conductor. Tapando las constantes fundamentales, obtenemos la siguiente estimación:\(\ \lambda_{\mathrm{D}}[\mathrm{m}] \approx 70 \times\left(\kappa \times T[\mathrm{~K}] / n\left[\mathrm{~m}^{-3}\right]\right)^{1 / 2}\). Según esta fórmula, en semiconductores a temperatura ambiente, la longitud de Debye puede ser bastante sustancial. Por ejemplo, en silicio\(\ (\kappa \approx 12)\) dopado a la concentración portadora de carga libre\(\ n=3 \times 10^{18} \text{cm}^{-3}\) (el valor típico de los circuitos integrados modernos), ⁸\(\ \lambda_{\mathrm{D}} \approx 2 \mathrm{~nm}\), aún muy por encima de la escala de tamaño atómico\(\ a_{0}\). En este caso, la Ec. (8) no debe tomarse literalmente, porque se basa en el supuesto de una distribución continua de carga.

iii) Estadísticas cuánticas. En realidad, la última estimación no es válida para metales buenos (y semiconductores altamente dopados) por una razón más: sus electrones libres obedecen a las estadísticas cuánticas (Fermi-Dirac) más que a la distribución de Boltzmann (4). ⁹ Como resultado, a todas las temperaturas realistas los electrones forman un gas cuántico degenerado, ocupando todos los estados de energía disponibles por debajo de cierto nivel de energía\(\ \mathscr{E}_{\mathrm{F}} \gg k_{\mathrm{B}} T\), llamado la energía Fermi. En estas condiciones, el tamizado de campo eléctrico relativamente bajo puede describirse reemplazando la Ec. (5) por

\[\ \rho=e\left(n-n_{\mathrm{e}}\right)=e g\left(\mathscr{E}_{\mathrm{F}}\right)(-U)=-e^{2} g\left(\mathscr{E}_{\mathrm{F}}\right) \phi,\tag{2.9}\]

donde\(\ g(\mathscr{E})\) es la densidad de los estados cuánticos (por unidad de volumen por unidad de energía) a la energía del electrón\(\ \mathscr{E}\). En la superficie Fermi, la densidad es del orden de\(\ n / \mathscr{E}_{\mathrm{F}}\). ¹⁰ Como resultado, nuevamente obtenemos el segundo de las ecuaciones (7), pero con una escala característica diferente\(\ \lambda\), definida por la siguiente relación:

Longitud de cribado Thomas-Fermi

\[\ \lambda_{\mathrm{TF}}^{2} \equiv \frac{\kappa \varepsilon_{0}}{e^{2} g\left(\mathscr{E}_{\mathrm{F}}\right)} \sim \frac{\kappa \varepsilon_{0} \mathscr{E}_{\mathrm{F}}}{e^{2} n},\tag{2.10}\]

y llamó a la longitud de proyección Thomas-Fermi. Dado que para la mayoría de los metales buenos,\(\ n\) es del orden de\(\ 10^{29} \mathrm{~m}^{-3}\), y\(\ \mathscr{E}_{\mathrm{F}}\) es del orden de 10 eV, la Ec. (10) normalmente da\(\ \lambda_{\mathrm{TF}}\) cerca de unos pocos\(\ a_{0}\), y hace que la teoría de tamizaje Thomas-Fermi sea válida al menos semicuantitativamente.

En resumen, la penetración del campo eléctrico en buenos conductores se limita a una profundidad\(\ \lambda\) que va desde una fracción de nanómetro hasta unos pocos nanómetros, de manera que para problemas con el tamaño característico mucho mayor que esa escala, el modelo macroscópico (1) da muy buena precisión, y los usaremos en el resto de este capítulo. Sin embargo, el lector debe recordar que en muchas situaciones que involucran semiconductores, así como en algunos experimentos a nanoescala con metales, se debe tener en cuenta la penetración del campo eléctrico.

Otra condición importante de la validez del modelo macroscópico se impone a la magnitud del campo eléctrico, lo que es especialmente significativo para los semiconductores. En efecto, como muestra la Ec. (6), la Ec. (7) sólo es válida si\(\ e|\phi|<<k_{\mathrm{B}} T\), por lo que\(\ |E| \sim|\phi| / \lambda_{\mathrm{D}}\) debería ser mucho menor que\(\ k_{\mathrm{B}} T / e \lambda_{\mathrm{D}}\). En el ejemplo dado anteriormente\(\ \left(\lambda_{\mathrm{D}} \approx 2 \mathrm{~nm}, T=300 \mathrm{~K}\right)\), esto significa\(\ |E|<<E_{t} \sim 10^{7} \mathrm{~V} / \mathrm{m} \equiv 10^{5} \mathrm{~V} / \mathrm{cm}\) - el valor fácilmente alcanzable en el laboratorio. En campos más grandes, la penetración de campo se vuelve no lineal, lo que lleva en particular al efecto muy importante del agotamiento del portador; se discutirá en SM Sec. 6.4. Para los metales típicos, dicho límite de linealidad,\(\ E_{t} \sim \mathscr{E}_{\mathrm{F}} / e \lambda_{\mathrm{TF}}\) es mucho mayor\(\ \sim 10^{11} \mathrm{~V} / \mathrm{m}\), pero el modelo puede ser violado en campos inferiores por
otros efectos, como la ionización de impacto que conduce a la avería eléctrica, que puede comenzar en\(\ \sim 10^{7} \mathrm{~V} / \mathrm{m}\).

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Referencia

¹ Se puede encontrar una discusión más detallada del cribado de campo electrostático, por ejemplo, en SM Sec. 6.4. (Alternativamente, ver Sec. 13.5 de J. Hook y H. Hall, Solid State Physics, ^2ª ed., Wiley, 1991; o el Capítulo 17 de N. Ashcroft y N. Mermin, Solid State Physics, Brooks Cole, 1976.)

² Este término, utilizado para el campo eléctrico, no debe confundirse con blindaje —la palabra utilizada para la descripción de la reducción del campo magnético por materiales magnéticos— ver Capítulo 5 a continuación.

³ Véase, por ejemplo, MA Ec. (12.1).

⁴ Esta escala se origina a partir de los efectos cuántico-mecánicos del movimiento electrónico, caracterizados por el radio de Bohr\(\ r_{\mathrm{B}} \equiv \hbar^{2} / m_{\mathrm{e}}\left(e^{2} / 4 \pi \varepsilon_{0}\right) \approx 0.53 \times 10^{-10} \mathrm{~m}\) — véase, por ejemplo, QM Eq. (1.10). También define las unidades de escala\(\ E_{\mathrm{B}}=e / 4 \pi \varepsilon_{0} r_{\mathrm{B}}^{2} \sim 10^{12}\) SI (V/m) de los campos eléctricos microscópicos dentro de los átomos. (Tenga en cuenta qué tan grandes son estos campos.)

⁵ En esta serie, e denota la carga fundamental,\(\ e \approx 1.6 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}>0\), de manera que la carga del electrón es igual\(\ (-e)\).

⁶ Véase, por ejemplo, SM Sec. 3.1.

⁷ Esta ecuación y/o su generalización directa al caso de partículas cargadas (iones) de varios tipos se denomina frecuentemente (especialmente en las teorías de electrolitos y plasmas) la ecuación de Debye-Hückel.

⁸ Hay una buena razón para hacer una estimación de\(\ \lambda_{\mathrm{D}}\) para este caso: el campo eléctrico creado por el electrodo de puerta de un transistor de efecto campo, que penetra en silicio dopado por una profundidad\(\ \sim \lambda_{\mathrm{D}}\), controla la corriente eléctrica en este dispositivo electrónico más importante —en cuya espalda todos nuestros paseos en tecnología de la información. Debido a eso,\(\ \lambda_{\mathrm{D}}\) establece la posible escala de contracción del circuito semiconductor, que es la base de la conocida Ley de Moore. (Prácticamente, la escala está determinada por técnicas de modelado de circuitos integrados, y la ecuación (8) puede usarse para encontrar la densidad portadora de carga adecuada\(\ n\) y, por lo tanto, el nivel necesario de dopaje de silicio; véase, por ejemplo, SM Sec. 6.4.)

⁹ Véase, e.g., SM Sec. 2.8. Para una derivación más detallada de la Ec. (10), véase SM Capítulo 3.

¹⁰ Véase, e.g., SM Sec. 3.3.