2.5: Capacitancia

Empecemos a usar el modelo macroscópico a partir de sistemas que consisten únicamente en conductores cargados, sin las llamadas cargas independientes en el espacio libre fuera de ellos. ¹¹ Nuestro objetivo aquí es calcular las distribuciones del campo eléctrico\(\ \mathbf{E}\) y el potencial\(\ \phi\) en el espacio, y la distribución de la densidad de carga superficial\(\ \sigma\) sobre las superficies del conductor. No obstante, antes de hacer eso para situaciones particulares, veamos si hay alguna medida integral de estas distribuciones, ese debería ser nuestro foco principal.

El caso más simple es, por supuesto, un solo conductor en el espacio libre. De acuerdo con la Ec. (1b), todo su volumen debe tener el mismo potencial electrostático\(\ \phi\), proporcionando evidentemente una medida global conveniente de la situación. Otra medida integral es proporcionada por el cargo total

\[\ Q \equiv \int_{V} \rho d^{3} r \equiv \oint_{S} \sigma d^{2} r,\tag{2.11}\]

donde esta última integral se extiende sobre toda la superficie S del conductor. En el caso general, ¿qué podemos decir sobre la relación entre\(\ Q\) y\(\ \phi\)? At\(\ Q=0\), no hay campo eléctrico en el sistema, y es natural (aunque no absolutamente necesario) seleccionar la constante arbitraria en el potencial electrostático para tener en\(\ \phi=0\) todas partes. Entonces, si el conductor está cargado con un distinto de cero\(\ Q\), de acuerdo con la ecuación lineal (1.7), el campo eléctrico en cualquier punto del espacio tiene que ser proporcional a esa carga. De ahí que el potencial electrostático en todos los puntos, incluyendo su valor\(\ \phi\) dentro del conductor, también es proporcional a\(\ Q\):

\[\ \phi=p Q.\tag{2.12}\]

El coeficiente de proporcionalidad\(\ p\), que depende del tamaño y forma del conductor, pero ni de\(\ \phi\) ni de\(\ Q\), se denomina capacitancia recíproca (o, no muy a menudo, “elastancia eléctrica”). Por lo general, la ecuación (12) se reescribe en una forma diferente,

Autocapacitancia

\[\ Q=C \phi, \quad \text { with } C \equiv \frac{1}{p},\tag{2.13}\]

donde\(\ C\) se llama autocapacitancia. (Frecuentemente, C se llama solo capacitancia, pero como veremos muy pronto, para situaciones más complejas este último término puede ser ambiguo).

Antes\(\ C\) de calcular geometrías particulares, echemos un vistazo a la energía electrostática\(\ U\) de un solo conductor. Para calcularlo, de las diversas relaciones discutidas en el Capítulo 1, la Ec. (1.61) es lo más conveniente, ya que todas las cargas elementales\(\ q_{k}\) son ahora partes de la carga del conductor, y por lo tanto residen en el mismo potencial\(\ \phi\) - ver la Ec. (1b) nuevamente. En consecuencia, la igualdad se vuelve muy simple:

\[\ U=\frac{1}{2} \phi \sum_{k} q_{k} \equiv \frac{1}{2} \phi Q.\tag{2.14}\]

Además, usando la relación lineal (13), el mismo resultado puede ser reescrito en dos formas más:

Energía electrostática

\[\ U=\frac{Q^{2}}{2 C}=\frac{C}{2} \phi^{2}.\tag{2.15}\]

Discutiremos varias formas de calcular\(\ C\) en las siguientes secciones, y ahora mismo tendremos un rápido vistazo al ejemplo más simple para el que hemos calculado todo lo necesario en el capítulo anterior: una esfera conductora de radio\(\ R\). En efecto, ya conocemos la distribución del campo eléctrico: de acuerdo con la Ec. (1),\(\ E=0\) dentro de la esfera, mientras que la Ec. (1.19), con\(\ Q(r)=Q\), describe la distribución de campo fuera de ella, debido a la evidente simetría esférica de la distribución de carga superficial. Además, dado que esta última fórmula es exactamente la misma que para la carga puntual colocada en el centro de la esfera, la distribución del potencial en el espacio se puede obtener a partir de la ecuación (1.35) reemplazando\(\ q\) con la carga completa de la esfera\(\ Q\). De ahí que en la superficie de la esfera (y, según la ecuación (1b), a través de su
interior),

\[\ \phi=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q}{R}.\tag{2.16}\]

Comparando este resultado con la definición (13), para la autocapacitancia obtenemos una fórmula muy simple

\[\ C=4 \pi \varepsilon_{0} R.\tag{2.17}\]

Esta fórmula, que debería ser bien familiar para el lector, ¹² es conveniente para tener alguna sensación de cuán grande es la unidad SI de capacitancia (1 farad, abreviado como F): ¡la autocapacitancia de la Tierra\(\ (R_{\mathrm{E}} \approx6.34\times10^6\text{m})\) está por debajo de 1 mF! Otra nota importante es que si bien la ecuación (17) no es exactamente válida para un
conductor de forma arbitraria, implica una estimación general importante

\[\ C \sim 2 \pi \varepsilon_{0} a\tag{2.18}\]

donde\(\ a\) es la escala del tamaño lineal de cualquier conductor. ¹³

Ahora procediendo a un sistema de dos conductores arbitrarios, vemos inmediatamente por qué debemos tener cuidado con la definición de capacitancia: una constante\(\ C\) es insuficiente para describir tal sistema. En efecto, aquí tenemos dos, generalmente diferentes potenciales conductores,\(\ \phi_{1}\) y\(\ \phi_{2}\), que puede depender de ambas cargas del conductor,\(\ Q_{1}\) y\(\ Q_{2}\). Usando los mismos argumentos que para el caso de un solo conductor, podemos concluir que la dependencia es siempre lineal:

\ [\\ begin {alineado}
&\ phi_ {1} =p_ {11} Q_ {1} +p_ {12} Q_ {2},\\
&\ phi_ {2} =p_ {21} Q_ {1} +p_ {22} Q_ {2},
\ end {alineado}\ tag {2.19}\]

pero ahora tiene que ser descrito por más de un coeficiente. En realidad, resulta que hay tres en lugar de cuatro coeficientes diferentes en estas relaciones, porque

\[\ p_{12}=p_{21}.\tag{2.20}\]

Esta igualdad puede demostrarse de varias maneras, por ejemplo, utilizando el teorema de reciprocidad general de la electrostática (cuya prueba fue objeto del Problema 1.17):

\[\ \int \rho_{1}(\mathbf{r}) \phi^{(2)}(\mathbf{r}) d^{3} r=\int \rho_{2}(\mathbf{r}) \phi^{(1)}(\mathbf{r}) d^{3}r,\tag{2.21}\]

donde\(\ \phi^{(1)}(\mathbf{r})\) y\(\ \phi^{(2)}(\mathbf{r})\) son las distribuciones potenciales inducidas, respectivamente, por dos distribuciones de carga eléctrica,\(\ \rho_{1}(\mathbf{r})\) y\(\ \rho_{2}(\mathbf{r})\). En nuestro caso actual, cada una de estas integrales se limita al volumen (o, más exactamente, a la superficie) del conductor correspondiente, donde cada potencial es constante y puede ser sacado de la integral. Como resultado, la ecuación (21) se reduce a

\[\ Q_{1} \phi^{(2)}\left(\mathbf{r}_{1}\right)=Q_{2} \phi^{(1)}\left(\mathbf{r}_{2}\right).\tag{2.22}\]

En términos de la Ec. (19),\(\ \phi^{(2)}\left(\mathbf{r}_{1}\right)\) es justo\(\ p_{12} Q_{2}\), mientras que\(\ \phi^{(1)}\left(\mathbf{r}_{2}\right)\) es igual\(\ p_{21} Q_{1}\). Conectando estas expresiones a la ecuación (22), y cancelando los productos\(\ Q_{1} Q_{2}\), llegamos a la ecuación (20).

De ahí que la matriz de coeficientes 2x2\(\ p_{jj}\), (llamada matriz de capacitancia recíproca) sea siempre simétrica, y usando la notación natural\(\ p_{11} \equiv p_{1}, p_{22} \equiv p_{2}, p_{12}=p_{21} \equiv p\), podemos reescribirla de una forma más simple:

\ [\\ left (\ begin {array} {ll}
p_ {1} & p\\
p & p_ {2}
\ end {array}\ right). \ tag {2.23}\]

Conectando la relación (19), en esta nueva notación, en la ecuación (1.61), vemos que la energía electrostática completa del sistema puede expresarse como una forma cuadrática de sus cargas:

\[\ U=\frac{p_{1}}{2} Q_{1}^{2}+p Q_{1} Q_{2}+\frac{p_{2}}{2} Q_{2}^{2}.\tag{2.24}\]

Es evidente que el término medio en el lado derecho de esta ecuación describe el acoplamiento electrostático de los conductores. (Sin ella, la energía sería sólo una suma de dos energías electrostáticas independientes de los conductores 1 y 2.) ¹⁴ Aún así, incluso con esta simplificación, las ecuaciones (19) y (20) muestran que en el caso general de cargas arbitrarias\(\ Q_{1}\) y\(\ Q_{2}\), el sistema de dos conductores debe caracterizarse por tres, en lugar de un solo coeficiente (“la capacitancia”). Es por ello que podemos atribuir una cierta capacitancia única al sistema solo en algunos casos particulares.

Para la práctica, el más importante de ellos es cuando el sistema en su conjunto es eléctricamente neutro:\(\ Q_{1}=-Q_{2} \equiv Q\). En este caso, la función más importante de Q es la diferencia de los potenciales de los conductores, llamada voltaje: ¹⁵

Voltaje: definición

\[\ V \equiv \phi_{1}-\phi_{2},\tag{2.25}\]

Para esa función, la resta de dos Eqs. (19) da

Capacitancia mutua

\[\ V=\frac{Q}{C}, \quad \text { with } C \equiv \frac{1}{p_{1}+p_{2}-2 p},\tag{2.26}\]

donde el coeficiente\(\ C\) se llama la capacitancia mutua entre los conductores — o, nuevamente, simplemente “capacitancia”, si el significado del término es absolutamente claro desde el contexto. El mismo coeficiente describe la energía electrostática del sistema. En efecto, al enchufar las ecuaciones (19) y (20) a la ecuación (24), vemos que ambas formas de la ecuación (15) se reproducen si\(\ \phi\) se reemplaza con\(\ V\),\(\ Q_{1}\) con\(\ Q\), y con\(\ C\) significado la capacitancia mutua:

Energía del condensador

\[\ U=\frac{Q^{2}}{2 C}=\frac{C}{2} V^{2}.\tag{2.27}\]

El sistema más conocido para el cual se\(\ C\) puede calcular fácilmente la capacitancia mutua es el condensador plano (o “placa paralela”), un sistema de dos conductores separados con un espacio plano estrecho de espesor constante\(\ d\) y un área\(\ A \sim a^{2} \gg d^{2}\) — ver Fig. 3.

Fig. 2.3. Capacitor plano — esquemáticamente.

Dado que las cargas superficiales, que contribuyen a las cargas opuestas\(\ \pm Q\) de los conductores de este sistema, se atraen entre sí, en el límite\(\ d<<a\) se asientan completamente en las superficies opuestas limitando el hueco, por lo que prácticamente no hay campo eléctrico fuera del hueco, mientras que (según la discusión en Sec. 1) dentro del hueco es normal a las superficies. De acuerdo con la Ec. (3), la magnitud de este campo es\(\ E=\sigma / \varepsilon_{0}\). Integrando este campo a través\(\ d\) del espesor de la brecha estrecha\(\ V \equiv \phi_{1}-\phi_{2}=E d=\sigma d / \varepsilon_{0}\), obtenemos, así que\(\ \sigma=\varepsilon_{0} V / d\). Pero debido a la constancia del potencial de cada electrodo, no\(\ V\) debe depender de la posición en el área de hueco. Como resultado, también\(\ \sigma\) debe ser constante sobre toda el área de hueco\(\ A\), independientemente de la geometría externa de los conductores (ver Fig. 3 nuevamente), y por lo tanto\(\ Q=\sigma A=\varepsilon_{0} V / d\). Así podemos escribir\(\ V=Q / C\), con

C: Capacitor plano

\[\ C=\frac{\varepsilon_{0} A}{d}.\tag{2.28}\]

Permítanme ofrecer algunos comentarios sobre esta conocida fórmula. Primero, es válido aunque el hueco no sea del todo plano —por ejemplo, si se curva suavemente en una escala mucho mayor que\(\ d\), pero conserva su grosor. En segundo lugar, la Ec. (28), que es válida si\(\ A \sim a^{2}\) es mucho mayor que\(\ d^{2}\), ignora las desviaciones del campo eléctrico de la uniformidad ¹⁶ a distancias\(\ \sim d\) cercanas a los bordes del hueco. Finalmente, la misma condición\(\ \left(A \gg d^{2}\right)\) asegura que\(\ C\) es mucho mayor que la autocapacitancia\(\ C_{j} \sim \varepsilon_{0} a\) de cada conductor — ver Ec. (18). Las oportunidades abiertas por este hecho para la ingeniería electrónica y la práctica de la física experimental son bastante asombrosas. Por ejemplo, una capa muy realista de 3 nm de óxido de aluminio de alta calidad (que puede proporcionar un aislamiento eléctrico casi perfecto entre dos películas conductoras delgadas) con un área de\(\ 0.1 \mathrm{~m}^{2}\) (que es un área típica de obleas de silicio utilizadas en la industria de semiconductores) proporciona\(\ C \sim 1\), ¡¹⁷ más grandes que la autocapacitancia de todo el planeta Tierra!

En el caso mostrado en la figura 3, el acoplamiento electrostático de los dos conductores es evidentemente fuerte. Como ejemplo opuesto de un sistema débilmente acoplado, consideremos dos esferas conductoras del mismo radio\(\ R\), separadas por una distancia mucho mayor\(\ d\) (Fig. 4).

Fig. 2.4. Un sistema de dos esferas conductoras muy separadas y similares.

En este caso, los componentes diagonales de la matriz (23) se pueden encontrar aproximadamente a partir de la ecuación (16), es decir, descuidando el acoplamiento por completo:

\[\ p_{1}=p_{2} \approx \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0} R}.\tag{2.29}\]

Ahora bien, si tuviéramos solo una esfera (digamos, número 1), el potencial eléctrico a\(\ d\) distancia de su centro estaría dado por la Ec. (16):\(\ \phi=Q_{1} / 4 \pi \varepsilon_{0} d\). Si nos movemos a este punto una pequeña\(\ (R<<d)\) esfera sin su propia carga, podemos esperar que su potencial no esté demasiado lejos de este resultado, así que eso\(\ \phi_{2} \approx Q_{1} / 4 \pi \varepsilon_{0} d\). Comparando esta expresión con la segunda de las ecuaciones. (19) (tomada por\(\ Q_{2}=0\)), obtenemos

\[\ p \approx \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0} d}<<p_{1,2}.\tag{2.30}\]

A partir de aquí y la Ec. (26), la capacitancia mutua

\[\ C \approx \frac{1}{p_{1}+p_{2}} \approx 2 \pi \varepsilon_{0} R.\tag{2.31}\]

Vemos que (algo contra-intuitivamente), en este límite\(\ C\) no depende sustancialmente de la distancia entre las esferas, es decir, no describe su acoplamiento electrostático. Los coeficientes fuera de la diagonal de la matriz de capacitancia recíproca (20) juegan este papel mucho mejor — ver Ec. (30).

Ahora consideremos el caso cuando solo se carga un conductor de los dos, por ejemplo\(\ Q_{1} \equiv Q\), mientras\(\ Q_{2}=0\). Luego Eqs. (19) - (20) rendimiento

\[\ \phi_{1}=p_{1} Q_{1}.\tag{2.32}\]

Ahora bien, podemos seguir la ecuación (13) y definir\(\ C_{1} \equiv 1 / p_{1}\) (y\(\ C_{2} \equiv 1 / p_{2}\)), sólo para ver que tales capacitancias parciales de los conductores del sistema difieren de su capacitancia mutua\(\ C\) — cf. Ec. (26). Por ejemplo, en el caso mostrado en la Fig. 4,\(\ C_{1}=C_{2} \approx 4 \pi \varepsilon_{0} R \approx 2 C\).

Por último, consideremos un caso más frecuente cuando uno de los conductores lleva cierta carga (digamos,\(\ Q_{1}=Q\)), pero el potencial de su contraparte se mantiene constante, digamos\(\ \phi_{2}=0\). ¹⁸ (Esta condición es especialmente fácil de implementar si el segundo conductor es mucho más grande que el primero. En efecto, como muestra la estimación (18), en este caso se necesitaría una carga mucho mayor\(\ Q_{2}\) para que el potencial sea\(\ \phi_{2}\) comparable con\(\ \phi_{1}\).) En este caso la segunda de las Ecuaciones (19), con la cuenta de la Ec. (20), rinde\(\ Q_{2}=-\left(p / p_{2}\right) Q_{1}\). Conectando esta relación a la primera de esas ecuaciones, obtenemos

\[\ Q_{1}=C_{1}^{\mathrm{ef}} \phi_{1}, \quad \text { with } C_{1}^{\mathrm{ef}} \equiv\left(p_{1}-\frac{p^{2}}{p_{2}}\right)^{-1} \equiv \frac{p_{2}}{p_{1} p_{2}-p^{2}}.\tag{2.33}\]

Por lo tanto, esta capacitancia efectiva del primer conductor es generalmente diferente tanto de su capacitancia\(\ C_{1}\) parcial como de la capacitancia mutua\(\ C\) del sistema, enfatizando nuevamente cuán preciso debe ser uno usando el término “capacitancia” sin un calificador.

Obsérvese también que ninguna de estas capacitancias es igual a ningún elemento de la matriz recíproca a la matriz (23):

\ [\\ left (\ begin {array} {cc}
p_ {1} & p\\
p & p_ {2}
\ end {array}\ derecha) ^ {-1} =\ frac {1} {p^ {2} -p_ {1} p_ {2}}\ left (\ begin {array} {cc}
-p_ {2} & p\
p & -p_ {1}
\ end {array}\ right). \ tag {2.34}\]

Por esta razón, esta matriz de capacitancia física, que expresa el vector de cargas conductoras a través del vector de sus potenciales, es menos conveniente para la mayoría de las aplicaciones que la matriz de capacitancia recíproca (23). La misma conclusión es válida para los sistemas multiconductores, los cuales se caracterizan más convenientemente por una generalización evidente de la Ec. (19). De hecho, en este caso, incluso la capacitancia mutua entre dos conductores seleccionados puede depender de las condiciones electrostáticas de otros componentes del sistema.

Lógicamente, en este punto necesitaría discutir el caso particular, pero prácticamente muy importante, cuando las regiones, donde el campo eléctrico entre cada par de conductores es más significativo, no se superponen —como en el ejemplo mostrado en la Fig. 5a. En este caso, las propiedades del sistema pueden discutirse utilizando el lenguaje de circuito equivalente, representando cada región como un condensador agrupado (localizado), con una cierta capacitancia mutua\(\ C\), y todo el sistema como alguna conexión de estos condensadores mediante “cables” conductores, cuya longitud y geometría no son importantes — ver Fig. 5b.

Fig. 2.5. a) Un sistema simple de conductores, con tres regiones bien localizadas del campo eléctrico y concentración de carga superficial, y b) su representación con un circuito equivalente de tres capacitores agrupados.

Dado que el análisis de tales circuitos equivalentes está cubierto en cursos típicos de introducción a la física, ahorraré tiempo omitiendo su discusión. Sin embargo, dado que este tipo de circuitos se encuentran muy frecuentemente en el experimento físico y la práctica de ingeniería eléctrica, instaría al lector a autoprobar su comprensión de este tema resolviendo un par de problemas que se ofrecen al final de este capítulo, ¹⁹ y si su solución presenta cualquier dificultad, revisar la sección correspondiente en un libro de texto de licenciatura.

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Referencia

¹¹ En algunos textos, estos cargos se denominan “gratuitos”. Este término es algo engañoso, porque bien pueden estar atados, es decir, incapaces de moverse libremente.

¹² En las unidades gaussianas, utilizando el reemplazo estándar\(\ 4 \pi \varepsilon_{0} \rightarrow 1\), esta relación toma una forma aún más simple:\(\ C = R\), muy fácil de recordar. Generalmente, en las unidades gaussianas (¡pero no en el sistema SI!) la capacitancia tiene la dimensionalidad de longitud, es decir, se mide en centímetros. Tenga en cuenta también que una unidad SI fraccional, 1 picofarad\(\ \left(10^{-12} \mathrm{~F}\right)\), está muy cerca de la unidad gaussiana:\(\ 1 \mathrm{pF}=\left(1 \times 10^{-12}\right) /\left(4 \pi \varepsilon_{0} \times 10^{-2}\right) \mathrm{cm} \approx 0.8998 \mathrm{~cm}\). Entonces, 1 pF está cerca de la capacitancia de una bola metálica con un radio de 1 cm, lo que hace que esta unidad sea muy conveniente para sistemas a escala humana.

¹³ Estos argumentos son algo insuficientes para decir para qué tamaño se debe usar\(\ a\) en el caso de conductores estrechos y extendidos, por ejemplo, un cable delgado y largo. Muy pronto veremos que en tales casos la energía electrostática, y por lo tanto\(\ C\), depende mayormente del mayor tamaño del conductor.

¹⁴ Es por ello que los sistemas con\(\ p<<p_{1}, p_{2}\) se denominan débilmente acoplados, y pueden analizarse mediante métodos aproximados — véase, por ejemplo, la Fig. 4 y su discusión a continuación.

¹⁵ Una palabra de precaución: en la física de la materia condensada y la ingeniería eléctrica, el voltaje se define con mayor frecuencia como la diferencia de potenciales electroquímicos en lugar de electrostáticos. Estas dos nociones coinciden si los conductores tienen funciones de trabajo iguales, por ejemplo, si están hechos del mismo material. En este curso, esta condición quedará implícita, y se ignorará la diferencia entre los dos voltajes —para ser discutidos en detalle en SM Sec. 6.3.

¹⁶ Tales campos de franja dan como resultado una capacitancia parásita adicional\(\ C^{\prime} \sim \varepsilon_{0} a<<C\sim \varepsilon_{0} a \times(a / d)\).

¹⁷ Al igual que en la Sec. 1, para que la estimación sea realista, tomé en cuenta el factor adicional\(\ K\) (para el óxido de aluminio, cercano al 10) que debería incluirse en el numerador de la Ec. (28) para que sea aplicable a los dieléctricos — ver Capítulo 3 a continuación.

¹⁸ En ingeniería eléctrica, dicho conductor de potencial constante se llama tierra. Este término se deriva del hecho de que en muchos casos el potencial electrostático de la tierra (débilmente) conductora en la superficie de la Tierra prácticamente no se ve afectado por las cargas eléctricas a escala de laboratorio.

¹⁹ Estos problemas han sido seleccionados para enfatizar el hecho de que no todos los circuitos pueden reducirse a las conexiones más simples de los condensadores en paralelo y/o en serie.