8.3: Dispersión de Ondas

La fórmula de Larmor puede ser utilizada como base de la teoría de la dispersión, fenómeno ilustrado por la Fig. 4. Generalmente, la dispersión es un problema complejo. Sin embargo, en muchos casos permite la llamada aproximación Born, ¹⁴ en la que se supone que el efecto del campo de ondas dispersas sobre el objeto dispersante es mucho más débil que el de la onda incidente, y se descuida.

Fig. 8.4. Dispersión (esquemáticamente).

Como primer ejemplo de este enfoque, consideremos la dispersión de una onda plana, propagándose en el espacio libre\(\ \left(Z=Z_{0}, \nu=c\right)\), por una partícula cargada de ¹⁵ libres cuyo movimiento puede ser descrito por la mecánica clásica no relativista. (Esto requiere, en particular, que la onda incidente no sea demasiado potente, de modo que la velocidad del movimiento de carga inducido siga siendo mucho menor que la velocidad de la luz). Como ya se discutió en la derivación de la Ec. (7.32), en este caso, la componente magnética de la fuerza de Lorentz (5.10) es insignificante en comparación con la fuerza\(\ \mathbf{F}_{\mathrm{e}}=q \mathbf{E}\) ejercida por su campo eléctrico. Así, suponiendo que la onda incidente se polariza linealmente a lo largo de algún eje\(\ x\), la ecuación del movimiento de la partícula en la aproximación Born es justa\(\ m \ddot{x}=q E(t)\), de modo que para el componente x\(\ p_{x}=q x\) de su momento dipolo podemos escribir

\[\ \ddot{p}=q \ddot{x}=\frac{q^{2}}{m} E(t).\tag{8.36}\]

Como ya sabemos por la Sec. 2, las oscilaciones del momento dipolo conducen a la radiación de una onda con una amplia distribución angular de intensidad; en nuestro caso, esta es la onda dispersa — ver Fig. 4. Su plena potencia se puede encontrar conectando la Ec. (36) en la Ec. (27):

\[\ \mathscr{P}=\frac{Z_{0}}{6 \pi c^{2}} \ddot{p}^{2}=\frac{Z_{0} q^{4}}{6 \pi c^{2} m^{2}} E^{2}(t),\tag{8.37}\]

para que por la potencia promedio obtengamos

\[\ \overline{\mathscr{P}}=\frac{Z_{0} q^{4}}{12 \pi c^{2} m^{2}}\left|E_{\omega}\right|^{2}.\tag{8.38}\]

Dado que esta potencia es proporcional a la intensidad S de la onda incidente, se acostumbra caracterizar la capacidad de dispersión de un objeto por la relación,

\[\ \text{Full cross-section: definition}\quad\quad\quad\quad \sigma \equiv \frac{\overline{\mathscr{P}}}{\overline{S_{\text {incident }}}} \equiv \frac{\overline{\mathscr{P}}}{\left|E_{\omega}\right|^{2} / 2 Z_{0}},\tag{8.39}\]

que tiene la dimensionalidad del área, y se llama la sección transversal total de dispersión. ¹⁶ Para esta medida, la Ec. (38) arroja el famoso resultado

\[\ \sigma=\frac{Z_{0}^{2} q^{4}}{6 \pi c^{2} m^{2}}=\frac{\mu_{0}^{2} q^{4}}{6 \pi m^{2}},\tag{8.40}\]

que se llama la fórmula de dispersión de Thomson, ¹⁷ especialmente cuando se aplica a un electrón. Esta relación se representa con mayor frecuencia en la forma ¹⁸

\[\ \sigma=\frac{8 \pi}{3} r_{\mathrm{c}}^{2}, \quad \text { with } r_{\mathrm{c}} \equiv \frac{q^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{1}{m c^{2}}.\quad\quad\quad\quad\text{Thomson scattering}\tag{8.41}\]

A esta constante\(\ r_{\mathrm{c}}\) se le llama el radio clásico de la partícula (o a veces la “longitud de dispersión de Thomson”); para el electrón\(\ \left(q=-e, m=m_{\mathrm{e}}\right)\) está cerca\(\ 2.82 \times 10^{-15} \mathrm{~m}\). Su posible interpretación es evidente a partir de la ecuación (41) para\(\ r_{\mathrm{c}}\): a esa distancia entre dos partículas similares, la energía potencial\(\ q^{2} / 4 \pi \varepsilon_{0} r\) de su interacción electrostática es igual a la energía de resto-masa de la partícula\(\ m c^{2}\). ¹⁹

Ahora tenemos que retroceder y establecer las condiciones en las que la aproximación Born, cuando el campo de la onda dispersa es despreciable, es efectivamente válida para una dispersión punto-objeto. Dado que la intensidad de la onda dispersa, descrita por la Ec. (26), diverge ya que\(\ 1 / r^{2}\), según la definición (39) de la sección transversal, puede llegar a ser comparable a\(\ S_{\text {incident }}\) at\(\ r^{2} \sim \sigma\). Sin embargo, la Ec. (38) en sí solo es válida si\(\ r >> \lambda\), de manera que la aproximación Born no conduzca a una contradicción solo si

\[\ \sigma<<\lambda^{2}.\tag{8.42}\]

Para la dispersión de Thompson por un electrón, esta condición significa\(\ \lambda >> r_{\mathrm{c}} \sim 3 \times 10^{-15} \mathrm{~m}\) y se cumple para todas las frecuencias hasta\(\ \gamma\) rayos muy duros con energías fotónicas ~ 100 MeV.

Posiblemente la característica más notable del resultado (40) es su independencia de la frecuencia de onda. Como se desprende de su derivación, particularmente de la ecuación (37), esta independencia está íntimamente relacionada con el carácter no ligado del movimiento de carga. Para cargas ligadas, digamos para electrones en moléculas de gas, este resultado sólo es válido si la frecuencia de onda\(\ \omega\) es mucho mayor que las frecuencias propias\(\ \omega_{j}\) de las transiciones cuánticas más importantes. En el límite opuesto,\(\ \omega<<\omega_{j}\), el resultado es dramáticamente diferente. En efecto, en este límite podemos aproximar el momento dipolar de la molécula por su valor estático (3.48):

\[\ \mathbf{p}=\alpha \mathbf{E}.\tag{8.43}\]

En la aproximación Born, y en ausencia de los efectos de campo molecular mencionados en la Sec. 3.3, E en esta expresión es solo el campo de la onda incidente, y podemos usar la Eq. (28) para calcular la potencia de la onda dispersada por una sola molécula:

\[\ \overline{\mathscr{P}}=\frac{Z_{0} \omega^{4}}{4 \pi c^{2}} \alpha^{2}\left|E_{\omega}\right|^{2}.\tag{8.44}\]

Ahora, usando la última forma de la definición (39) de la sección transversal, obtenemos un resultado muy simple,

\[\ \sigma=\frac{Z_{0}^{2} \omega^{4}}{6 \pi c^{2}} \alpha^{2},\tag{8.45}\]

mostrando que en contraste con la Ec. (40), a bajas frecuencias\(\ \sigma\) cambia tan rápido como\(\ \omega^{4}\).

Ahora vamos a explorar el efecto de tal dispersión de Rayleigh sobre la propagación de ondas en un gas, con una densidad volumétrica relativamente baja\(\ n\). Podemos esperar (y probaremos en la siguiente sección) que debido a la aleatoriedad de las posiciones de las moléculas, las ondas dispersadas por moléculas individuales puedan tratarse como incoherentes, de manera que el poder de dispersión total se pueda calcular igual que la suma de las dispersas por cada molécula. Podemos usar este hecho para escribir el balance de la intensidad de onda del incidente en un pequeño volumen\(\ dV\) de longitud (a lo largo de la dirección de la onda incidente)\(\ dz\) y área\(\ A\) a través de ella. Dado que dicho segmento incluye\(\ n d V=n A d z\) moléculas, y de acuerdo con la Ecuación (39), cada una de ellas dispersa la potencia\(\ S \sigma=\mathscr{P} \sigma / A\), la potencia total dispersa es\(\ n \mathscr{P} \sigma d z\); de ahí que el cambio de la potencia incidente sea

\[\ d \mathscr{P} \equiv-n \sigma \mathscr{P} d z.\tag{8.46}\]

Comparando esta ecuación con la definición (7.213) de la constante de atenuación de onda, aplicada a la dispersión, ²⁰

\[\ d \mathscr{P} \equiv-\alpha_{\text {scat }} \mathscr{P} d z.\tag{8.47}\]

vemos que este efecto da la siguiente contribución a la atenuación:\(\ \alpha_{\text {scat }}=n \sigma\). A partir de aquí, usando la Ec. (3.50) para escribir\(\ \alpha=\varepsilon_{0}(\kappa-1) / n\), donde\(\ \kappa\) está la constante dieléctrica, y la Eq. (45) para\(\ \sigma\), obtenemos

\[\ \text{Rayleigh scattering}\quad\quad\quad\quad \alpha_{\text {scat }}=\frac{k^{4}}{6 \pi n}(\kappa-1)^{2}, \quad \text { where } k \equiv \frac{2 \pi}{\lambda_{0}}=\frac{\omega}{c}.\tag{8.48}\]

Se trata de la famosa fórmula de dispersión de Rayleigh, que en particular explica los colores del cielo azul y las puestas de sol rojas. En efecto, a través del espectro de luz visible,\(\ \omega\) cambia casi dos veces; como resultado, la dispersión de los componentes azules de la luz solar es un orden de magnitud mayor que la de sus componentes rojos. Para el aire cerca de la superficie de la Tierra,\(\ \kappa-1 \approx 6 \times 10^{-4}\), y\(\ n \sim 2.5 \times 10^{25} \mathrm{~m}^{-3}\) — ver Sec. 3.3. Conectando estos números a la ecuación (48), vemos que la longitud efectiva\(\ l_{\text {scat }} \equiv 1 / \alpha_{\text {scat }}\) de dispersión es de ~30 km para la luz azul y ~200 km para la luz roja. ²¹ El grosor efectivo\(\ h\) de la atmósfera terrestre es de ~10 km, por lo que el Sol se ve un poco amarillento durante la mayor parte del día. Sin embargo, una geometría elemental muestra que al atardecer, la luz debe pasar la longitud\(\ l \sim\left(R_{\mathrm{E}} h\right)^{1 / 2} \approx 300 \mathrm{~km}\) para llegar a un observador de la superficie terrestre; como resultado, los componentes azules del espectro de luz del Sol están casi completamente dispersos, e incluso los componentes rojos se debilitan sustancialmente.

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Referencia

¹⁴ El nombre de Max Born, uno de los padres fundadores de la mecánica cuántica. Sin embargo, la idea básica de este enfoque de las ondas EM fue desarrollada mucho antes (en 1881) por Lord Rayleigh, nacido John William Strutt.

¹⁵ Como muestra la Ec. (7.30), este cálculo también es válido para un oscilador con baja frecuencia propia,\(\ \omega_{0}<<\omega\).

¹⁶ Esta definición es paralela a las aceptadas en las teorías clásica y cuántica de la dispersión de partículas - véase, por ejemplo, respectivamente, CM Sec. 3.5 y QM Sec. 3.3.

¹⁷ El nombre de Sir Joseph John (“JJ”) Thomson, el descubridor del electrón — ¡y también de los isótopos! No debe confundirse con su hijo, G. P. Thomson, quien descubrió (simultáneamente con C. Davisson y L. Germer) propiedades de onda cuántico-mecánica del mismo electrón.

¹⁸ En las unidades gaussianas, se ve esta fórmula\(\ r_{\mathrm{c}}=q^{2} / m c^{2}\) (dando, por supuesto, los mismos valores numéricos: para el electrón,\(\ r_{\mathrm{c}} \approx 2.82 \times 10^{-13} \mathrm{~cm}\)). Esta cantidad clásica no debe confundirse con la longitud de onda Compton de la partícula\(\ \lambda_{\mathrm{C}} \equiv 2 \pi \hbar / m \mathrm{c}\) (para el electrón, cercana a\(\ 2.24 \times 10^{-12} \mathrm{~m}\)), que surge naturalmente en la electrodinámica cuántica —ver una breve discusión en el siguiente capítulo, y también QM Sec. 1.1.

¹⁹ Es fascinante cuán inteligentemente se ha\(\ m c^{2}\) colado la expresión relativista en el resultado (40) - (41), que se obtuvo utilizando la ecuación no relativista (36) del movimiento de partículas. Esto fue posible porque el cálculo se ocupó de las ondas electromagnéticas, que se propagan con la velocidad de la luz, y cuyos cuantos (fotones), como resultado, pueden ser frecuentemente tratados como partículas relativistas (además, ultra-relativistas) —véase el siguiente capítulo.

²⁰ Siento haber usado la misma letra tanto\(\ (\alpha)\) para la polarizabilidad molecular como para la atenuación de onda, pero ambas notaciones son tradicionales. Ojalá que el subíndice “scat”, marcando\(\ \alpha\) en este último sentido, minimice la posibilidad de confusión.

²¹ Estos valores son aproximados porque ambos\(\ n\) y\(\ (\kappa-1)\) varían a través del espesor de la atmósfera.