8.4: Interferencia y Difracción

Ahora vamos a discutir la dispersión por objetos con un tamaño del orden de, o incluso mayor que\(\ \lambda\). Para tales objetos extendidos, los factores de diferencia de fase (descuidados anteriormente) intervienen, conduciendo en particular a los importantes efectos de interferencia y difracción. Estos efectos aparecen no tanto en la potencia total de la radiación dispersa, como en su distribución angular. Es tradicional caracterizar esta distribución por la sección transversal diferencial definida como

\[\ \frac{d \sigma}{d \Omega} \equiv \frac{\bar{S}_{r} r^{2}}{\overline{S_{\text {incident }}}},\quad\quad\quad\quad \text{Differential cross-section}\tag{8.49}\]

donde\(\ r\) está la distancia desde el dispersor, a la que se observa la onda dispersa. ²² Tanto la definición como la notación pueden quedar más claras si observamos que de acuerdo con la Ecuación (26), a grandes distancias\(\ (r >>a)\), el numerador del lado derecho de la Ec. (49), y de ahí la sección transversal diferencial en su conjunto, no dependen de\(\ r\), y que su integral sobre el ángulo sólido total\(\ \Omega=4 \pi\) coincide con la sección transversal total definida por la Ec. (39):

\[\ \oint_{4 \pi} \frac{d \sigma}{d \Omega} d \Omega=\frac{1}{\overline{S_{\text {incident }}}} r^{2} \oint_{4 \pi} \bar{S}_{r} d \Omega=\frac{1}{\overline{S_{\text {incident }}}} \oint_{r=\text { const }} \overline{S_{r}} d^{2} r=\frac{\overline{\mathscr{P}}}{\overline{S_{\text {incident }}}} \equiv \sigma.\tag{8.50}\]

Por ejemplo, según la Ec. (26), la distribución angular de la radiación dispersada por un solo dipolo es bastante amplia; en particular, en el caso cuasistático (43), y en la aproximación Born,

\[\ \frac{d \sigma}{d \Omega}=\left(\frac{\alpha k^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0}}\right)^{2} \sin ^{2} \Theta.\tag{8.51}\]

Si la onda es dispersada por un pequeño cuerpo dieléctrico, con un tamaño característico\(\ a<<\lambda\) (es decir,\(\ k a<<1\)), entonces todas sus partes vuelven a irradiar la onda incidente de manera coherente. De ahí que podamos calcularlo de manera similar, simplemente reemplazando el momento dipolar molecular (43) por el momento dipolar total del objeto — ver Ec. (3.45):

\[\ \mathbf{p}=\mathbf{P} V=(\kappa-1) \varepsilon_{0} \mathbf{E} V,\tag{8.52}\]

donde\(\ V \sim a^{3}\) está el volumen del cuerpo. Como resultado, la sección transversal diferencial se puede obtener de la Ec. (51) con el reemplazo\(\ \alpha_{\mathrm{mol}} \rightarrow(\kappa-1) \varepsilon_{0} V\):

\[\ \frac{d \sigma}{d \Omega}=\left(\frac{k^{2} V}{4 \pi}\right)^{2}(\kappa-1)^{2} \sin ^{2} \Theta,\tag{8.53}\]

es decir, sigue la misma\(\ \sin ^{2} \Theta\) ley.

La situación de los objetos extendidos, con al menos una dimensión del orden de (o mayor que) la longitud de onda, es diferente: aquí hay que tener en cuenta los desplazamientos de fase entre la re-radiación por diversas partes del cuerpo. Analicemos primero este tema para una colección arbitraria de dispersores de puntos similares ubicados en puntos\(\ \mathbf{r}_{j}\). Si el vector de onda de la onda del plano incidente es\(\ \mathbf{k}_{0}\), el campo de la onda tiene el factor de fase\(\ \exp \left\{i \mathbf{k}_{0} \cdot \mathbf{r}\right\}\) — ver Ec. (7.79). En la ubicación\(\ \mathbf{r}_{j}\) del centro de\(\ j^{\text {th }}\) dispersión, este factor es igual a\(\ \exp \left\{i \mathbf{k}_{0} \cdot \mathbf{r}_{j}\right\}\), de manera que los vectores dipolares locales p, y la onda dispersa que crean, son proporcionales a este factor. En su camino hacia el punto de observación r, la onda dispersa, con el
vector de onda k (con\(\ k=k_{0}\)), adquiere un factor de fase adicional\(\ \exp \left\{\mathbf{i k} \cdot\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{j}\right)\right\}\), de manera que el
campo de onda dispersa es proporcional a

\[\ \exp \left\{i \mathbf{k}_{0} \cdot \mathbf{r}_{j}+i \mathbf{k}\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{j}\right)\right\} \equiv e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} \exp \left\{-i\left(\mathbf{k}-\mathbf{k}_{0}\right) \cdot \mathbf{r}_{j}\right\}.\tag{8.54}\]

Dado que el primer factor en la última expresión no depende de\(\ \mathbf{r}_{j}\), para calcular la onda de dispersión total, es suficiente para resumir los últimos factores de fase,\(\ \exp \left\{-\mathbf{i} \mathbf{q} \cdot \mathbf{r}_{j}\right\}\), donde el vector

\[\ \mathbf{q} \equiv \mathbf{k}-\mathbf{k}_{0}\tag{8.55}\]

tiene el sentido físico del cambio de vector de onda en la dispersión. ²³ Puede parecer que el factor de fase depende de la elección del marco de referencia. Sin embargo, de acuerdo con la Ec. (7.42), la intensidad promedio de la onda dispersa es proporcional a\(\ E_{\omega} E_{\omega}{ }^{*}\), es decir, a la siguiente función escalar real del vector q:

\[\ \text{Scattering function}\quad\quad\quad\quad F(\mathbf{q})=\left(\sum_{j} \exp \left\{-i \mathbf{q} \cdot \mathbf{r}_{j}\right\}\right)\left(\sum_{j^{\prime}} \exp \left\{-i \mathbf{q} \cdot \mathbf{r}_{j^{\prime}}\right\}\right)^{*}=\sum_{j, j^{\prime}} \exp \left\{i \mathbf{q} \cdot\left(\mathbf{r}_{j}-\mathbf{r}_{j^{\prime}}\right)\right\} \equiv|I(\mathbf{q})|^{2},\tag{8.56}\]

donde la función compleja

\[\ \text{Phase sum}\quad\quad\quad\quad I(\mathbf{q}) \equiv \sum_{j} \exp \left\{-i \mathbf{q} \cdot \mathbf{r}_{j}\right\}\tag{8.57}\]

se denomina suma de fase, y puede calcularse en cualquier marco de referencia, sin afectar el resultado final dado por la Ec. (56).

Entonces, además del\(\ \sin ^{2} \Theta\) factor, la sección transversal diferencial (49) de dispersión por un objeto extendido también es proporcional a la función de dispersión (56). Su forma de doble suma es conveniente notar que para un sistema\(\ (N >> 1)\) de muchos dispersores similares pero localizados aleatoriamente, solo los términos con\(\ j=j^{\prime}\) se acumulan en la suma, de manera que\(\ F(\mathbf{q})\), y por lo tanto\(\ d \sigma / d \Omega\), escalan como\(\ N\), en lugar de\(\ N^{2}\) — justificando así de nuevo nuestro tratamiento de el problema de dispersión de Rayleigh en la sección anterior.

Comencemos a usar la ecuación (56) aplicándola a un simple problema de solo dos pequeños dispersores similares, separados por una distancia fija\(\ a\):

\[\ F(\mathbf{q})=\sum_{j, j^{\prime}=1}^{2} \exp \left\{i \mathbf{q} \cdot\left(\mathbf{r}_{j}-\mathbf{r}_{j^{\prime}}\right)\right\}=2+\exp \left\{-i q_{a} a\right\}+\exp \left\{i q_{a} a\right\}=2\left(1+\cos q_{a} a\right)=4 \cos ^{2} \frac{q_{a} a}{2},\tag{8.58}\]

donde\(\ q_{a} \equiv \mathbf{q} \cdot \mathbf{a} / a\) es el componente del vector q a lo largo del vector a que conecta los dispersores. La aparente simplicidad de este resultado puede ser un poco engañosa, ya que el plano mutuo de los vectores k y\(\ \mathbf{k}_{0}\) (y por lo tanto del vector q) no coincide necesariamente con el plano mutuo de los vectores\(\ \mathbf{k}_{0}\) y\(\ \mathbf{E}_{\omega}\), de manera que el ángulo de dispersión\(\ \theta\) entre k y\(\ \mathbf{k}_{0}\) es generalmente diferente de\(\ (\pi / 2-\Theta)\) — ver Fig. 5. Además, el ángulo entre los vectores q y a (dentro de su plano común) es un parámetro más independiente de ambos\(\ \theta\) y\(\ \Theta\). Como resultado, la dependencia angular de la intensidad de la onda dispersa (y por lo tanto\(\ d \sigma /d \Omega\)), que depende de los tres ángulos, puede estar bastante involucrada, pero algunos de sus detalles no afectan la física básica de la interferencia/difracción.

Fig. 8.5. Los ángulos importantes para el problema general de dispersión.

Es por ello que permítanme considerar en detalle sólo los casos simples cuando los vectores\(\ \mathbf{k}\)\(\ \mathbf{k}_{0}\),, y a todos se encuentran en el mismo plano, con\(\ \mathbf{k}_{0}\) normal a a — ver Figs. 6.

Fig. 8.6. Los casos más simples de (a) interferencia y (b) difracción.

Para el dispersor de dos puntos mostrado en la Fig. 6a, con nuestra elección de coordenadas\(\ q_{a}=q_{x}=k \sin \theta\), y la Ec. (58) se reduce a

\[\ F(\mathbf{q})=4 \cos ^{2} \frac{k a \sin \theta}{2}.\tag{8.59}\]

Esta función siempre tiene dos máximos, at\(\ \theta=0\) y\(\ \theta=\pi\), y, si el producto\(\ ka\) es lo suficientemente grande, otros máximos ²⁴ en los ángulos especiales\(\ \theta_{n}\) que satisfacen la condición simple

\[\ k a \sin \theta_{n}=2 \pi n, \quad \text { i.e. } a \sin \theta_{n}=n \lambda.\quad\quad\quad\quad \text{Bragg condition} \tag{8.60}\]

Como muestra la figura 6a, esta condición puede entenderse fácilmente como la de la adición en fase (la interferencia constructiva) de dos ondas coherentes dispersas desde los dos puntos, cuando la diferencia entre sus trayectorias hacia el observador,\(\ a \sin \theta\), es igual a un número entero de longitudes de onda. En cada uno de esos máximos\(\ F=4\),, debido a la duplicación de la amplitud de onda y por lo tanto cuadruplicando su potencia.

Si la distancia entre los dispersores de punto es grande\(\ (k a >>1)\), los primeros máximos (60) corresponden a pequeños ángulos de dispersión,\(\ \theta<<1\). Para esta región, la ecuación (59) se reduce a una simple dependencia periódica de la función\(\ F\) en el ángulo\(\ \theta\). Además, dentro del rango de pequeño\(\ \theta\), el factor de polarización de onda\(\ \sin ^{2} \Theta\) es prácticamente constante, por lo que la intensidad de onda dispersa, y por lo tanto la sección transversal diferencial también son muy simples:

\[\ \frac{d \sigma}{d \Omega} \propto F(\mathbf{q})=4 \cos ^{2} \frac{k a \theta}{2}.\quad\quad\quad\quad \text{Young’s interference pattern}\tag{8.61}\]

Este patrón de interferencia simple es bien conocido por el experimento de dos rendijas de Young. ²⁵ (Como se discutirá en la siguiente sección, la descripción teórica del experimento de dos rendijas es más compleja que la de la dispersión del Born, pero es preferible experimentalmente, porque a tal dispersión, la onda de intensidad (61) tiene que ser observada en el telón de fondo de una gran onda incidente más fuerte que se propaga en casi la misma dirección,\(\ \theta=0\).)

Un análisis muy similar de dispersión a partir de dispersores equidistantes\(\ N > 2\) similares, ubicados a lo largo de la misma línea recta, muestra que las posiciones (60) de los máximos de interferencia constructiva no cambian (porque la derivación de esta condición sigue siendo aplicable a cada par de dispersores adyacentes), pero el incremento de\(\ N\) hace que estos picos sean cada vez más agudos. Dejando el análisis cuantitativo de este sistema para el ejercicio del lector, permítanme saltar inmediatamente al límite\(\ N \rightarrow 0\), en el que podemos ignorar la discrecionalidad de los dispersores. El patrón resultante es similar al de la dispersión por una varilla delgada continua (ver Fig. 6b), así que primero expliquemos la fórmula de dispersión Born para un cuerpo dieléctrico arbitrario y extendido, continuo y uniforme. Transfiriendo la Eq. (56) de la suma a una integral, para la sección transversal diferencial obtenemos

\[\ \frac{d \sigma}{d \Omega}=\left(\frac{k^{2}}{4 \pi}\right)^{2}(\kappa-1)^{2} F(\mathbf{q}) \sin ^{2} \Theta \equiv\left(\frac{k^{2}}{4 \pi}\right)^{2}(\kappa-1)^{2}|I(\mathbf{q})|^{2} \sin ^{2} \Theta,\tag{8.62}\]

donde\(\ I(\mathbf{q})\) ahora se convierte en la fase integral, ²⁶

\[\ \text{Phase integral}\quad\quad\quad\quad I(\mathbf{q})=\int_{V} \exp \left\{-i \mathbf{q} \cdot \mathbf{r}^{\prime}\right\} d^{3} r^{\prime},\tag{8.63}\]

con la dimensionalidad del volumen.

Ahora podemos volver al caso particular de una varilla delgada (con ambas dimensiones del área de la sección transversal\(\ A\) mucho más pequeñas que\(\ \lambda\), pero una longitud arbitraria\(\ a\)), manteniendo de otra manera la misma geometría simple que para los dispersores de dos puntos — ver Fig. 6b. En este caso, la integral de fase es justa

\[\ \text{Fraunhofer diffraction integral}\quad I(\mathbf{q})=A \int_{-a / 2}^{+a / 2} \exp \left\{-i q_{x} x^{\prime}\right) d x^{\prime}=A \frac{\exp \left\{-i q_{x} a / 2\right\}-\exp \left\{-i q_{x} a / 2\right\}}{-i q} \equiv V \frac{\sin \xi}{\xi},\tag{8.64}\]

donde\(\ V = Aa\) es el volumen de la varilla, y\(\ \xi\) es el argumento adimensional definido como

\[\ \xi \equiv \frac{q_{x} a}{2} \equiv \frac{k a \sin \theta}{2}.\tag{8.65}\]

La fracción que participa en la última forma de la Ec. (64) se cumple en física con tanta frecuencia que se ha merecido el nombre especial del sinc (¡no “sync”, por favor!) función (ver Fig. 7):

\ [\\ nombreoperador {sinc}\ xi\ equiv\ frac {\ sin\ xi} {\ xi}. \ quad\ quad\ quad\ quad\ text {
función Sinc}\ tag {8.66}\]

Se desvanece en todos los puntos\(\ \xi_{n}=\pi n\), con entero\(\ n\), además de tal punto con\(\ n=0\):\(\ \operatorname{sinc} \xi_{0} \equiv \operatorname{sinc} 0=1\).

Fig. 8.7. La función sinc.

La función\(\ F(\mathbf{q})=V^{2} \operatorname{sinc}^{2} \xi\), dada por la Ec. (64) y trazada con la línea roja en la Fig. 8, se denomina patrón de difracción de Fraunhofer. ²⁷

Fig. 8.8. El patrón de difracción de Fraunhofer (línea roja continua) y su envolvente\(\ 1 / \xi^{2}\) (línea roja discontinua). A modo de comparación, la línea azul muestra el patrón de interferencia básico\(\ \cos ^{2} \xi\) — cf. Ec. (61).

Obsérvese que oscila con el\(\ \Delta(k a \sin \theta)=2 \pi / k a\) mismo periodo de argumento que el patrón de interferencia (61) de los dispersores de dos puntos (mostrados con la línea azul en la Fig. 8). Sin embargo, a la interferencia, la intensidad de la onda dispersa desaparece en ángulos\(\ \theta_{n}{ }^{\prime}\) que satisfacen la condición

\[\ \frac{k a \sin \theta_{n}^{\prime}}{2 \pi}=n+\frac{1}{2},\tag{8.67}\]

es decir, cuando la diferencia de trayectorias ópticas\(\ a \sin \alpha\) es igual a un número semientero de longitudes de onda\(\ \lambda / 2=\pi / k\), y por lo tanto las dos ondas de los dispersores alcanzan al observador en antifase, la llamada interferencia destructiva. Por otro lado, para la difracción en una varilla continua los mínimos ocurren en un conjunto diferente de ángulos de dispersión:

\[\ \frac{k a \sin \theta_{n}}{2 \pi}=n,\tag{8.68}\]

es decir, exactamente donde el patrón de interferencia de dos puntos tiene sus máximos — vea nuevamente la Fig. 8. La razón de esta relación es que la difracción de ondas en la varilla puede considerarse como una interferencia simultánea de ondas de todos sus fragmentos elementales, y exactamente en los ángulos de observación cuando los bordes de la varilla dan ondas con fases desplazadas por\(\ 2 \pi n\), los puntos interiores de la varilla dan ondas con todas las fases posibles, con su suma algebraica igual a cero. Como aún más visible en la figura 8, en la difracción, las oscilaciones de intensidad están limitadas por una función\(\ 1 / \xi^{2}\) envolvente que disminuye rápidamente, mientras que en la interferencia de dos puntos, las oscilaciones conservan la misma amplitud. La razón de esta rápida disminución es que con cada período de difracción de Fraunhofer, una fracción cada vez más pequeña de la carretera da una contribución desequilibrada a la onda dispersa.

Si la longitud de la varilla es pequeña\(\ (k a<<1, \text { i.e. } a<<\lambda)\), entonces el argumento de la función sinc\(\ \xi\) es pequeño en todos los ángulos de dispersión\(\ \theta\)\(\ I(\mathbf{q}) \approx V\), así que, y la ecuación (62) se reduce a la ecuación (53). En el límite opuesto,\(\ a >> \lambda\), los primeros ceros de la función\(\ I(\mathbf{q})\) corresponden a ángulos muy pequeños\(\ \theta\), para lo cual\(\ \sin \Theta \approx 1\), de manera que la sección transversal diferencial es justa

\[\ \frac{d \sigma}{d \Omega}=\left(\frac{k^{2}}{4 \pi}\right)^{2}(\kappa-1)^{2} \operatorname{sinc}^{2} \frac{k a \theta}{2},\tag{8.69}\]

Es decir, la Fig. 8 muestra la intensidad de dispersión en función de la dirección hacia el punto de observación, si este punto está dentro del plano que contiene la varilla.

Finalmente, discutamos un problema de gran importancia para las aplicaciones: calcular las posiciones de los máximos del patrón de interferencia que surge a la incidencia de una onda plana en un sistema periódico 3D muy grande de dispersores de puntos. Para ello, antes que nada, cuantificemos la noción de periodicidad 3D. La periodicidad en una dimensión es simple: el sistema que estamos considerando (digamos, las posiciones de los dispersores de puntos) debe ser invariante con respecto a la traducción lineal por algún periodo a, y por lo tanto por cualquier sa múltiple de este periodo, donde s es cualquier entero. Anticipando la generalización 3D, podemos requerir que cualquiera de los posibles vectores de traducción\(\ R\), para que el sistema sea invariante, sea igual\(\ s \mathbf{a}\), donde el vector primitivo a se dirige a lo largo del (único) eje del sistema 1D.

Ahora estamos listos para la definición común de la periodicidad 3D —como la invarianza del sistema con respecto a la traducción por cualquier vector del siguiente conjunto:

\[\ \text{Bravais lattice}\quad\quad\quad\quad \mathbf{R}=\sum_{l=1}^{3} s_{l} \mathbf{a}_{l},\tag{8.70}\]

donde\(\ s_{l}\) son 3 enteros independientes, y\(\ \left\{\mathbf{a}_{l}\right\}\) es un conjunto de 3 vectores primitivos linealmente independientes. El conjunto de puntos geométricos descritos por la Ec. (70) se llama celosía de Bravais (primero analizado en detalle, hacia 1850, por Auguste Bravais). Quizás la característica más no trivial de esta relación es que los vectores no necesariamente\(\ \mathbf{a}_{l}\) deben ser ortogonales entre sí. (Ese requisito restringiría severamente el conjunto de posibles celosías, y lo haría inadecuado para la descripción, por ejemplo, de muchos cristales de estado sólido). Para el problema de dispersión que estamos considerando, supongamos que la posición\(\ \mathbf{r}_{j}\) de cada dispersor
coincide con uno de los puntos R de alguna celosía de Bravais, con un conjunto dado de vectores primitivos\(\ \mathbf{a}_{l}\), de manera que el índice\(\ j\) esté codificando el conjunto de enteros \(\ \left\{s_{1}, s_{2}, s_{3}\right\}\).

Ahora consideremos una celosía Bravais definida de manera similar, pero en el espacio recíproco (onda-número), numerada por enteros independientes\(\ \left\{t_{1}, t_{2}, t_{3}\right\}\):

\[\ \text{Reciprocal lattice}\quad\quad\quad\quad \mathbf{Q}=\sum_{m=1}^{3} t_{m} \mathbf{b}_{m}, \quad \text { with } \mathbf{b}_{m}=2 \pi \frac{\mathbf{a}_{m^{\prime \prime}} \times \mathbf{a}_{m^{\prime}}}{\mathbf{a}_{m} \cdot\left(\mathbf{a}_{m^{\prime \prime}} \times \mathbf{a}_{m^{\prime}}\right)},\tag{8.71}\]

donde en la última expresión, los índices\(\ m\),\(\ m’\), y\(\ m^{\prime \prime}\) son todos diferentes. Se trata de la llamada celosía recíproca, que juega un papel importante en toda la física de las estructuras periódicas, en particular en la teoría de la banda de energía cuántica. ²⁸ Para revelar su propiedad más importante, y así justificar la definición anterior de los vectores primitivos\(\ \mathbf{b}_{m}\), calculemos el siguiente producto escalar:

\[\ \mathbf{R} \cdot \mathbf{Q} \equiv \sum_{l, m=1}^{3} s_{l} t_{m} \mathbf{a}_{l} \cdot \mathbf{b}_{m} \equiv 2 \pi \sum_{l, m=1}^{3} s_{l} t_{m} \mathbf{a}_{l} \cdot \frac{\mathbf{a}_{m^{\prime \prime}} \times \mathbf{a}_{m^{\prime}}}{\mathbf{a}_{m} \cdot\left(\mathbf{a}_{m^{\prime \prime}} \times \mathbf{a}_{m^{\prime}}\right)} \equiv 2 \pi \sum_{l, m=1}^{3} s_{l} t_{k} \frac{\mathbf{a}_{l} \cdot\left(\mathbf{a}_{m^{\prime \prime}} \times \mathbf{a}_{m^{\prime}}\right)}{\mathbf{a}_{m} \cdot\left(\mathbf{a}_{m^{\prime \prime}} \times \mathbf{a}_{m^{\prime}}\right)}.\tag{8.72}\]

Aplicando al numerador de la última fracción la regla de rotación de operando del álgebra vectorial, ²⁹ vemos que es igual a cero si\(\ l \neq m\), mientras que para toda\(\ l = m\) la fracción es evidentemente igual a 1. Así, la suma doble (72) se reduce a una sola suma:

\[\ \mathbf{R} \cdot \mathbf{Q}=2 \pi \sum_{l=1}^{3} s_{l} t_{l}=2 \pi \sum_{l=1}^{3} n_{l},\tag{8.73}\]

donde cada uno de los productos\(\ n_{l} \equiv s_{l} t_{l}\) es un número entero, y por lo tanto su suma,

\[\ n \equiv \sum_{l=1}^{3} n_{l} \equiv s_{1} t_{1}+s_{2} t_{2}+s_{3} t_{3},\tag{8.74}\]

también es un número entero, de modo que la propiedad principal del par de celosía directa/recíproca es muy simple:

\[\ \mathbf{R} \cdot \mathbf{Q}=2 \pi n, \quad \text { and } \exp \{-i \mathbf{R} \cdot \mathbf{Q}\}=1.\tag{8.75}\]

Volviendo ahora a la función de dispersión (56), vemos que si el vector\(\ \mathbf{q} \equiv \mathbf{k}-\mathbf{k}_{0}\) coincide con cualquier vector Q de la retícula recíproca, entonces todos los términos de la suma de fase (57) toman sus valores más grandes posibles (iguales a 1), y de ahí la suma como el todo también es mayor, dando una constructiva interferencia máxima. Esta igualdad\(\ \mathbf{q}=\mathbf{Q}\), donde Q viene dada por la Ec. (71), se llama la condición von Laue (llamada así por Max von Laue) de la interferencia constructiva; es, en particular, la base de todo campo de la cristalografía de rayos X de sólidos y polímeros, la principal herramienta para revelar su atómica/ estructura molecular. ³⁰

Para refundir la condición von Laue es una forma geométrica más vívida, consideremos uno de los vectores Q de la red recíproca, correspondiente a un cierto número entero n en la Ec. (75), y notemos que si esa relación se satisface para un punto R de la celosía directa de Bravais (70), es decir, para un conjunto de los enteros\(\ \left\{s_{1}, s_{2}, s_{3}\right\}\), también se satisface para un sistema 2D de otros conjuntos de enteros, que pueden ser parametrizados, por ejemplo, por dos enteros\(\ S_{1}\) y\(\ S_{2}\):

\[\ s_{1}^{\prime}=s_{1}+S_{1} t_{3}, \quad s_{2}^{\prime}=s_{2}+S_{2} t_{3}, \quad s_{3}^{\prime}=s_{3}-S_{1} t_{1}-S_{2} t_{2}.\tag{8.76}\]

De hecho, cada uno de estos conjuntos tiene el mismo valor del entero\(\ n\), definido por la Ec. (74), que el original:

\[\ n^{\prime} \equiv s_{1}^{\prime} t_{1}+s_{2}^{\prime} t_{2}+s_{3}^{\prime} t_{3} \equiv\left(s_{1}+S_{1} t_{3}\right) t_{1}+\left(s_{2}+S_{2} t_{3}\right) t_{2}+\left(s_{3}-S_{1} t_{1}-S_{2} t_{2}\right) t_{3}=n.\tag{8.77}\]

Dado que de acuerdo con la Ec. (75), el vector de la distancia entre cualquier par de los puntos correspondientes de la celosía directa de Bravais (70),

\[\ \Delta \mathbf{R}=\Delta S_{1} t_{3} \mathbf{a}_{1}+\Delta S_{2} t_{3} \mathbf{a}_{2}-\left(\Delta S_{1} t_{1}+\Delta S_{2} t_{2}\right) \mathbf{a}_{3},\tag{8.78}\]

satisface la condición\(\ \Delta \mathbf{R} \cdot \mathbf{Q}=2 \pi \Delta n=0\), este vector es normal al vector (fijo) Q. De ahí que todos los puntos correspondientes al conjunto 2D (76), con enteros arbitrarios\(\ S_{1}\) y\(\ S_{2}\), se ubican en un plano geométrico, denominado plano de cristal (o “celosía”). En un sistema 3D de\(\ N >>1\) dispersores (como\(\ N \sim 10^{20}\) átomos en un cristal\(\ \sim 1-\mathrm{mm}^{3}\) sólido), con todas las dimensiones lineales comparables, dicho plano contiene\(\ \sim N^{2 / 3}>>1\) puntos. En consecuencia, los picos constructivos de interferencia son muy agudos.

Ahora reescribiendo la Eq. (75) como una relación para el\(\ \mathbf { R's }\) componente vectorial a lo largo del vector Q,

\[\ R_{Q}=\frac{2 \pi}{Q} n, \quad \text { where } R_{Q} \equiv \mathbf{R} \cdot \mathbf{n}_{Q} \equiv \mathbf{R} \cdot \frac{\mathbf{Q}}{Q}, \quad \text { and } Q \equiv|\mathbf{Q}|,\tag{8.79}\]

vemos que los planos cristalinos paralelos, correspondientes a diferentes números\(\ n\) (pero la misma Q) se ubican en el espacio periódicamente, con la menor distancia

\[\ d=\frac{2 \pi}{Q},\tag{8.80}\]

para que la condición von Laue\(\ \mathbf{q}=\mathbf{Q}\) pueda ser reescrita como la siguiente regla para las posibles magnitudes del vector de dispersión\(\ \mathbf{q} \equiv \mathbf{k}-\mathbf{k}_{0}\):

\[\ q=\frac{2 \pi n}{d}.\tag{8.81}\]

La Figura 9a muestra el diagrama de los tres vectores de onda\(\ \mathbf{k}\)\(\ \mathbf{k}_{0}\), y\(\ \mathbf{q}\), teniendo en cuenta la condición de dispersión elástica\(\ |\mathbf{k}|=\left|\mathbf{k}_{0}\right|=k \equiv 2 \pi / \lambda\). Del diagrama, obtenemos inmediatamente la famosa regla ³¹ de Bragg para los ángulos (iguales)\(\ \alpha \equiv \theta / 2v\) entre el plano cristalino y cada uno de los vectores\(\ \mathbf{k}\) y\(\ \mathbf{k}_{0}\):

\[\ \text{Bragg rule}\quad\quad\quad\quad k \sin \alpha=\frac{q}{2}=\frac{\pi n}{d} \quad\quad \text{i.e. }2d \sin \alpha = n\lambda.\tag{8.82}\]

El sentido físico de esta relación es muy simple — ver Fig. 9b dibujado en el espacio “directo” de los radios-vectores r, más que en el espacio recíproco de los vectores de onda, como Fig. 9a. Muestra que si se cumple la condición de Bragg (82), la diferencia total\(\ 2 d \sin \alpha\) de las trayectorias ópticas de dos ondas, parcialmente reflejadas desde los planos cristalinos adyacentes, es igual a un número entero de longitudes de onda, por lo que estas ondas interfieren constructivamente.

Fig. 8.9. Derivar la regla de Bragg: (a) de la condición von Laue (en el espacio recíproco), y (b) de un diagrama de espacio directo. Tenga en cuenta que el ángulo de dispersión\(\ \theta\) es igual\(\ 2 \alpha\).

Por último, señalar que las reglas de von Laue y Bragg, así como la condición similar (60) para el sistema 1D de dispersores, son válidas no solo en la aproximación Born sino que también se derivan de cualquier teoría adecuada de dispersión, porque la suma de fases (57) no depende de la magnitud de la onda que se propaga desde cada esparcidor elemental, siempre que todos sean iguales.

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Referencia

²² Al igual que en el caso de la sección transversal total, esta definición también es similar a la aceptada en la dispersión de partículas — véase, por ejemplo, CM Sec. 3.5 y QM Sec. 3.3.

²³ En la mecánica cuántica,\(\ \hbar \mathbf{q}\) tiene un sentido muy claro del impulso transferido del objeto dispersante a la partícula dispersa (por ejemplo, un fotón), y esta terminología a veces se contrabandea incluso en textos clásicos de electrodinámica.

²⁴ En óptica, tales máximos de intensidad, observados como puntos/rayas brillantes en una pantalla, se denominan franjas de interferencia.

²⁵ Este experimento fue descrito en 1803 por Thomas Young —un genio universal más de la ciencia, quien también ha introducido el módulo Young en la teoría de la elasticidad (véase, por ejemplo, CM Capítulo 7), además de muchos otros logros— ¡incluyendo descifrar jeroglíficos egipcios! Es fascinante que la primera observación clara de la interferencia de las olas la hiciera ya en 1666 otro genio, Sir Isaac Newton, en forma de los llamados anillos de Newton. Increíblemente, Newton no pudo dar la explicación más natural de sus observaciones —tal vez porque se opuso violentamente a la idea misma de la luz como onda, que fue promovida en sus tiempos por otros, entre ellos especialmente Christian Huygens—. Debido a la enorme autoridad de Newton, solo los experimentos de dos rendijas de Young más de un siglo después han establecido firmemente la imagen ondulada de la luz, para ser reemplazada por la imagen dualista onda/fotón formalizada por la electrodinámica cuántica (ver, por ejemplo, QM Ch. 9), en un siglo más.

²⁶ Dado que la posición r del punto de observación no participa explícitamente en esta fórmula, el signo principal en r' podría dejarse caer, pero lo guardo como recordatorio de que la integral se toma sobre los puntos r' del objeto dispersante.

²⁷ Lleva el nombre de Joseph von Fraunhofer (1787-1826) —quien inventó el espectroscopio, desarrolló la rejilla de difracción (ver más abajo), y también descubrió las líneas oscuras de Fraunhofer en el espectro del Sol.

²⁸ Véase, e.g., QM Sec. 3.4, donde se consideran varias celosías R particulares de Bravais, y sus recíprocas Q.

²⁹ Véase, por ejemplo, MA Ec. (7.6).

³⁰ Para más lectura sobre este importante tema, puedo recomendar, por ejemplo, la clásica monografía de B. Cullity, Elements of X-Ray Diffraction, ^2ª ed., Addison-Wesley, 1978. (Tenga en cuenta que su título usa el nombre alternativo del campo, una vez más ilustrando cuán borroso es el límite entre la interferencia y la difracción.)

³¹ El nombre de Sir William Bragg y su hijo, Sir William Lawrence Bragg, quienes fueron los primeros en demostrar (en 1912) la difracción de rayos X por átomos en cristales. Los experimentos de Braggs han hecho indiscutible la existencia de átomos (antes de eso, una noción hipotética, que había sido ignorada por muchos físicos).