8.5: El principio Huygens

Como pudo ver el lector, la aproximación Born es muy conveniente para trazar las características básicas de (y la diferencia entre) los fenómenos de interferencia y difracción. Desafortunadamente, esta aproximación, basada en la debilidad relativa de la onda dispersa, no puede ser utilizada para implementaciones experimentales más típicas de estos fenómenos, por ejemplo, el experimento de dos rendijas de Young, o de difracción en una sola rendija u orificio; véase, por ejemplo, la Fig. 10. De hecho, en tales experimentos, el tamaño del orificio\(\ a\) suele ser mucho mayor que la longitud de onda de la luz\(\ \lambda\), y como resultado, no es posible una descomposición clara de los campos a las ondas “incidentes” y “dispersas” dentro de él.

Fig. 8.10. Derivando el principio Huygens.

Sin embargo, otra aproximación, llamada el principio Huygens (o “Huygens-Fresnel”), ³² es muy instrumental para la descripción de tales experimentos. En este enfoque, la onda más allá de la pantalla se representa como una superposición lineal de ondas esféricas del tipo (17), como si fueran emitidas por cada punto del frente de la onda incidente que ha llegado al orificio. Esta aproximación es válida si se satisfacen las siguientes condiciones fuertes:

\[\ \lambda<<a<<r,\tag{8.83}\]

donde\(\ r\) está la distancia del punto de observación desde el orificio. Además, como hemos visto en la última sección, en pocas palabras\(\ \lambda / a\) los fenómenos de difracción están confinados a ángulos\(\ \theta \sim 1 / k a \sim \lambda / a<<1\). Para la observación en ángulos tan pequeños, la expresión matemática del principio Huygens, para la amplitud compleja\(\ f_ \omega(\mathbf{r})\) de una onda monocromática\(\ f(\mathbf{r}, t)=\operatorname{Re}\left[f_{\omega} e^{-i \omega t}\right]\), viene dada por la siguiente fórmula simple

\[\ f_{\omega}(\mathbf{r})=C \int_{\text {orifice }} f_{\omega}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) \frac{e^{i k R}}{R} d^{2} r^{\prime}.\tag{8.84}\]

Aquí\(\ f\) hay cualquier componente transversal de cualquiera de los campos de la onda (ya sea E o H), ³³\(\ R\) es la distancia entre el punto\(\ \mathbf{r}^{\prime}\) en el orificio y el punto de observación\(\ \mathbf{r}\) (es decir, la magnitud del vector\(\ \mathbf{R} \equiv \mathbf{r}-\mathbf{r’}\)), y \(\ C\)es una constante compleja.

Antes de describir la prueba de la ecuación (84), permítame llevar a cabo su chequeo de cordura —que también nos dará la constante\(\ C\). Veamos qué da el principio Huygens para el caso cuando el campo debajo de la integral es una onda plana con la amplitud compleja\(\ f_{\omega}(z)\), propagándose a lo largo del eje\(\ z\), con un\(\ x-y\) frente ilimitado, (es decir, cuando no hay ninguna pantalla opaca en absoluto), por lo que debemos tomar el conjunto\(\ [x, y]\) plano, digamos con\(\ z^{\prime}=0\), como el área de integración en la Ec. (84) — ver Fig. 11.

Fig. 8.11. Aplicando el principio Huygens a una ola incidente de avión.

Luego, para el punto de observación con coordenadas\(\ x = 0\), y\(\ y = 0\)\(\ z > 0\), Eq. (84) rinde

\[\ f_{\omega}(z)=C f_{\omega}(0) \int d x^{\prime} \int d y^{\prime} \frac{\exp \left\{i k\left(x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{2}\right)^{1 / 2}\right\}}{\left(x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{2}\right)^{1 / 2}}.\tag{8.85}\]

Antes de especificar los límites de integración, consideremos el rango\(\ \left|x^{\prime}\right|,\left|y^{\prime}\right|<<z\). En este rango, la raíz cuadrada que participa en la Ec. (85) dos veces, puede aproximarse como

\[\ \left(x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{2}\right)^{1 / 2} \equiv z\left(1+\frac{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}{z^{2}}\right)^{1 / 2} \approx z\left(1+\frac{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}{2 z^{2}}\right) \equiv z+\frac{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}{2 z}.\tag{8.86}\]

At\(\ z >> \lambda\), el denominador de la ecuación (85) es una función mucho más lenta de\(\ x^{\prime}\) y\(\ y^{\prime}\) que el exponente en el nominador, y en el primer caso, es suficiente (ya que comprobaremos a posteriori) para mantener solo el principal, primer término de la expansión (86). Con eso, la Ec. (85) se convierte

\[\ f_{\omega}(z)=C f_{\omega}(0) \frac{e^{i k z}}{z} \int d x^{\prime} \int d y^{\prime} \exp \frac{i k\left(x^{\prime 2}+y^{\prime 2}\right)}{2 z}=C f_{\omega}(0) \frac{e^{i k z}}{z} I_{x} I_{y},\tag{8.87}\]

donde\(\ I_{x}\) y\(\ I_{y}\) son dos integrales similares; por ejemplo,

\[\ I_{x}=\int \exp \frac{i k x^{\prime 2}}{2 z} d x^{\prime}=\left(\frac{2 z}{k}\right)^{1 / 2} \int \exp \left\{i \xi^{2}\right\} d \xi=\left(\frac{2 z}{k}\right)^{1 / 2}\left[\int \cos \left(\xi^{2}\right) d \xi+i \int \sin \left(\xi^{2}\right) d \xi\right],\tag{8.88}\]

donde\(\ \xi \equiv(k / 2 z)^{1 / 2} x^{\prime}\). Estas son las llamadas integrales de Fresnel. Los voy a discutir con más detalle en la siguiente sección (ver, en particular, la Fig. 13), y por ahora, solo una propiedad ³⁴ de estas integrales es importante para nosotros: si se toma en límites simétricos\(\ \left[-\xi_{0},+\xi_{0}\right]\), ambas convergen rápidamente al mismo valor,\(\ (\pi / 2)^{1 / 2}\), tan pronto como\(\ \xi_{0}\) llega a ser mucho más grande que 1. Esto significa que aunque no impongamos límites exactos al área de integración en la Ec. (85), esta integral converge al valor

\[\ f_{\omega}(z)=C f_{\omega}(0) \frac{e^{i k z}}{z}\left\{\left(\frac{2 z}{k}\right)^{1 / 2}\left[\left(\frac{\pi}{2}\right)^{1 / 2}+i\left(\frac{\pi}{2}\right)^{1 / 2}\right]\right\}^{2} \equiv\left(C \frac{2 \pi i}{k}\right) f_{\omega}(0) e^{i k z},\tag{8.89}\]

debido a contribuciones de la zona central con un tamaño lineal correspondiente a\(\ \Delta \xi \sim 1\), i.e.

\[\ \Delta x \sim \Delta y \sim\left(\frac{z}{k}\right)^{1 / 2} \sim(\lambda z)^{1 / 2},\tag{8.90}\]

de manera que la contribución neta desde los puntos frontales mucho más\(\ \mathbf{r^{\prime}}\) allá del rango (90) es despreciable. ³⁵ (Dentro de nuestros supuestos (83), que en particular requieren\(\ \lambda\) ser mucho menores que\(\ z\), el ángulo de difracción\(\ \Delta x/z \sim\Delta y / z \sim(\lambda / z)^{1 / 2}\), correspondiente al área importante del frente, es pequeño.) De acuerdo con la Ec. (89), para sostener la propagación de onda plana no perturbada\(\ f_{\omega}(z)=f_{\omega}(0) e^{i k z}\), la constante\(\ C\) tiene que ser tomada igual a\(\ k / 2 \pi i\). Así, la predicción del principio Huygens (84), en su forma final, dice

\[\ f_{\omega}(\mathbf{r})=\frac{k}{2 \pi i} \int_{\text {orifice }} f_{\omega}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) \frac{e^{i k R}}{R} d^{2} r^{\prime},\quad\quad\quad\quad \text{Huygens principle}\tag{8.91}\]

y describe, en particular, la propagación recta de la onda plana (en un medio uniforme).

Permítanme hacer una pausa para enfatizar lo no trivial que es este resultado. Sería un corolario natural de las ecuaciones (25) (y el principio de superposición lineal) si todos los puntos del orificio estuvieran llenos de dispersores de puntos que reemitan todas las ondas incidentes en ondas esféricas. No obstante, como se desprende del ejemplo anterior, ¡el principio Huygens también funciona si no hay nada en el orificio sino el espacio libre!

Es por ello que discutamos una prueba del principio, ³⁶ basada en el teorema de Green (2.207). Vamos a aplicarlo a la función\(\ f=f_{\omega}\) donde\(\ f_{\omega}\) está la amplitud compleja de un componente escalar de uno de los campos de la onda, que satisface la ecuación de Helmholtz (7.204),

\[\ \left(\nabla^{2}+k^{2}\right) f_{\omega}(\mathbf{r})=0,\tag{8.92}\]

y la función\(\ g=G_{\omega}\) que es la imagen temporal de Fourier de la función de Green correspondiente. Esta última función puede definirse, como de costumbre, como la solución a la misma ecuación con el lado derecho delta-funcional agregado con un coeficiente arbitrario, por ejemplo,

\[\ \left(\nabla^{2}+k^{2}\right) G_{\omega}\left(\mathbf{r}, \mathbf{r}^{\prime}\right)=-4 \pi \delta\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right).\tag{8.93}\]

Usando las ecuaciones (92) y (93) para expresar los operadores de Laplace de las funciones\(\ f_{\omega}\) y\(\ G_{\omega}\), podemos reescribir la Eq. (2.207) como

\[\ \int_{V}\left\{f_{\omega}\left[-k^{2} G_{\omega}\left(\mathbf{r}, \mathbf{r}^{\prime}\right)-4 \pi \delta\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right)\right]-G_{\omega}\left(\mathbf{r}, \mathbf{r}^{\prime}\right)\left[-k^{2} f_{\omega}\right]\right\} d^{3} r=\oint_{S}\left[f_{\omega} \frac{\partial G_{\omega}\left(\mathbf{r}, \mathbf{r}^{\prime}\right)}{\partial n}-G_{\omega}\left(\mathbf{r}, \mathbf{r}^{\prime}\right) \frac{\partial f_{\omega}}{\partial n}\right] d^{2} r,\tag{8.94}\]

donde n es la normal hacia afuera a la superficie\(\ S\) limitando el volumen de integración\(\ V\). Dos términos en el lado izquierdo de esta relación cancelan, de manera que después de intercambiar los argumentos\(\ \mathbf{r}\) y\(\ \mathbf{r}^{\prime}\), obtenemos

\[\ -4 \pi f_{\omega}(\mathbf{r})=\oint_{S}\left[f_{\omega}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) \frac{\partial G_{\omega}\left(\mathbf{r}^{\prime}, \mathbf{r}\right)}{\partial n^{\prime}}-g_{\omega}\left(\mathbf{r}^{\prime}, \mathbf{r}\right) \frac{\partial G_{\omega}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)}{\partial n^{\prime}}\right] d^{2} r^{\prime}.\tag{8.95}\]

Esta relación solo es correcta si el volumen seleccionado\(\ V\) incluye el punto r (de lo contrario no obtendríamos su lado izquierdo de la integración de la función delta), pero no incluye la fuente genuina de la onda; de lo contrario, la ecuación (92) tendría un lado derecho distinto de cero. Ahora que r sea el punto de observación de campo,\(\ V\) sea todo el medio espacio libre de fuente (por ejemplo, el medio espacio derecho de la pantalla en la Fig. 10), de manera que esa\(\ S\) es la superficie de la pantalla, incluyendo el orificio. Luego, el lado derecho de la ecuación (95) describe el campo (en el punto de observación r) inducido por la onda que pasa por los puntos de orificio\(\ \mathbf{r’}\). Dado que las partes opacas de la pantalla no emiten ondas, podemos limitar la integración por el área del orificio. ³⁷ Suponiendo también que las partes opacas de la pantalla no reemiten las ondas “radiadas” por el orificio, podemos tomar la solución de la Eq. (93) como el potencial retardado para el espacio libre: ³⁸

\[\ G_{\omega}\left(\mathbf{r}, \mathbf{r}^{\prime}\right)=\frac{e^{i k R}}{R}.\tag{8.96}\]

Conectando esta expresión a la Eq. (82), obtenemos

\[\ \text{Kirchhoff integral}\quad\quad\quad\quad -4 \pi f_{\omega}(\mathbf{r})=\oint_{\text {orifice }}\left[f_{\omega}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) \frac{\partial}{\partial n^{\prime}}\left(\frac{e^{i k R}}{R}\right)-\left(\frac{e^{i k R}}{R}\right) \frac{\partial f_{\omega}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)}{\partial n^{\prime}}\right] d^{2} r^{\prime}.\tag{8.97}\]

Esta es la llamada integral Kirchhoff (o “Fresnel-Kirchhoff”). (Nuevamente, con la integración extendida sobre todos los límites del volumen\(\ V\), este sería un resultado matemático exacto.) Ahora, hagamos dos aproximaciones adicionales. El primero de ellos proviene de la Ec. (83): at\(\ ka >> 1\), la dependencia espacial de la onda en el área del orificio puede representarse como

\[\ f_{\omega}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)=\left(\text { a slow function of } \mathbf{r}^{\prime}\right) \times \exp \left\{i \mathbf{k}_{0} \cdot \mathbf{r}^{\prime}\right\},\tag{8.98}\]

donde “lento” significa una función que cambia en la escala de\(\ a\) más que\(\ \lambda\). Si, también\(\ k R >> 1\), entonces la diferenciación en la Ec. (97) puede estar, en ambos casos, limitada a los exponentes rápidamente cambiantes, dando

\[\ -4 \pi f_{\omega}(\mathbf{r})=\oint_{\text {orifice }} i\left(\mathbf{k}+\mathbf{k}_{0}\right) \cdot \mathbf{n}^{\prime} \frac{e^{i k R}}{R} f\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) d^{2} r^{\prime}.\tag{8.99}\]

Segundo, si todos los ángulos de observación son pequeños, podemos tomar\(\ \mathbf{k} \cdot \mathbf{n}^{\prime} \approx \mathbf{k}_{0} \cdot \mathbf{n}^{\prime} \approx-k\). Con eso, la Ec. (99) se reduce al principio Huygens en su forma (91).

Es claro que el principio da inmediatamente una descripción muy simple de la interferencia de las ondas que pasan por dos pequeños agujeros en la pantalla. En efecto, si los tamaños de los agujeros son insignificantes en comparación con la distancia\(\ a\) entre ellos (¡aunque todavía son mucho más grandes que la longitud de onda!) , Eq. (91) rendimientos

\[\ f_{\omega}(\mathbf{r})=c_{1} e^{i k R_{1}}+c_{2} e^{i k R_{2}}, \quad \text { with } c_{1,2} \equiv k f_{1,2} A_{1,2} / 2 \pi i R_{1,2},\tag{8.100}\]

donde\(\ R_{1,2}\) están las distancias entre los agujeros y el punto de observación, y\(\ A_{1,2}\) son las áreas de los hoyos. Para la intensidad de onda, la ecuación (100) rinde

\[\ \bar{S} \propto f_{\omega} f_{\omega}^{*}=\left|c_{1}\right|^{2}+\left|c_{2}\right|^{2}+2\left|c_{1} \| c_{2}\right| \cos \left[k\left(R_{1}-R_{2}\right)+\varphi\right], \quad \text { where } \varphi \equiv \arg c_{1}-\arg c_{2}.\tag{8.101}\]

Los dos primeros términos de la última expresión representan claramente las intensidades de las ondas parciales que pasan por cada agujero, mientras que el último es el resultado de su interferencia. La relación de contraste del patrón de interferencia

\[\ \mathcal{R} \equiv \frac{\bar{S}_{\max }}{\bar{S}_{\min }}=\left(\frac{\left|c_{1}\right|+\left|c_{2}\right|}{\left|c_{1}\right|-\left|c_{2}\right|}\right)^{2},\tag{8.102}\]

es la más grande (infinita) cuando ambas ondas tienen amplitudes iguales.

El análisis del patrón de interferencia es sencillo si la línea que conecta los agujeros es perpendicular al vector de onda\(\ \mathbf{k} \approx \mathbf{k}_{0}\) — ver Fig. 6a. Seleccionando los ejes de coordenadas como se muestra en esa figura, y usando para las distancias\(\ R_{1,2}\) la misma expansión que en la Ec. (86), para el término de interferencia en la Ec. (101) obtenemos

\[\ \cos \left[k\left(R_{1}-R_{2}\right)+\varphi\right] \approx \cos \left(\frac{k x a}{z}+\varphi\right).\tag{8.103}\]

Esto significa que el término no depende de y, es decir, el patrón de interferencia en el plano de constante\(\ z\) es un conjunto de tiras rectas, paralelas, perpendiculares al vector a, con el periodo dado por la Eq. (60), es decir, por la ley de Bragg. ³⁹ Este resultado es estrictamente válido solo en\(\ y^{2}<<z^{2}\); es sencillo usar el siguiente término en la expansión Taylor (73) para mostrar que más lejos del plano de interferencia\(\ y = 0\). las tiras comienzan a divergir.

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Referencia

³² El nombre de Christian Huygens (1629-1695) que había conjeturado la naturaleza ondulada de la luz (que permaneció polémica durante más de un siglo, hasta los experimentos de T. Young), y Augustin-Jean Fresnel (1788-1827) quien ha desarrollado una teoría cuantitativa de la difracción, y en particular dio una formulación matemática del principio Huygens. (Nótese que la Ec. (91), suficiente para los efectos de este curso, no es su forma más general.)

³³ El hecho de que el principio Huygens sea válido para cualquier componente de campo no debería sorprender demasiado. Debido a nuestra suposición\(\ a >> \lambda\), las condiciones reales de límite en los bordes del orificio no son importantes; lo que solo es importante que la pantalla que limita el orificio, sea opaca. Debido a esto, el principio Huygens (84) forma parte de la llamada teoría escalar de difracción. (En este curso, no voy a tener tiempo para discutir la teoría más precisa, vectorial. de estos efectos — véase, por ejemplo, el Capítulo 11 de la monografía de M. Born y E. Wolf, citada al final de la Sec. 7.1.)

³⁴ Véase, por ejemplo, MA Ec. (6.10).

³⁵ Este resultado muy es natural, debido a que la función\(\ \exp \{i k R\}\) oscila rápido con el cambio de\(\ \mathbf{r^{\prime}}\), de manera que se promedian las contribuciones de diversos frentes. En efecto, la única razón por la que la parte central del plano\(\ [x^{\prime},y^{\prime}]\) da una contribución distinta de cero (89) a\(\ f_{\omega}(z)\) es que los exponentes de fase dejan de oscilar como\(\ \left(x^{, 2}+y^{, 2}\right)\) se reduce por debajo\(\ \sim z / k\) — véase la Ec. (86).

³⁶ Esta prueba fue dada en 1882 por el mismo G. Kirchhoff cuyas reglas de circuito se discutieron en la Sec. 4.1 y 6.6.

³⁷ En realidad, este es un punto no trivial de la prueba. En efecto, se puede demostrar que la solución exacta de la Ec. (94) de manera idéntica es igual a cero si\(\ f\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)\) y\(\ \partial f\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) / \partial n^{\prime}\) desaparecen juntos en cualquier parte del límite, del área distinta de cero. Un análisis más cuidadoso de este tema (que es tarea de la teoría vectorial formal de la difracción, que no voy a tener tiempo de perseguir) confirma la validez del enfoque basado en la intuición descrito en\(\ a >> \lambda\).

³⁸ Se desprende, e.g., de la Ec. (16) con una fuente monocromática\(\ q(t)=q_{\omega} \exp \{-i \omega t\}\), con la amplitud\(\ q_{\omega}=4 \pi \varepsilon\) que se ajusta al lado derecho de la Ec. (93).

³⁹ El desplazamiento de fase\(\ \varphi\) desaparece en la incidencia normal de una onda plana en los agujeros. Obsérvese, sin embargo, que el desplazamiento espacial del patrón de interferencia que sigue a partir de la ecuación (103)\(\ \Delta x=-(z / k a) \varphi\), es extremadamente conveniente para la medición experimental del desplazamiento de fase entre dos ondas, especialmente si es inducido por algún factor (como la inserción de un objeto transparente en una de las ej., los brazos del interferómetro) que pueden encenderse y apagarse a voluntad.