8.6: Patrones de difracción de Fresnel y Fraunhofer

Ahora usemos el principio de Huygens para analizar un problema (ligeramente) más complejo: la difracción de onda plana en una hendidura larga y recta de ancho constante\(\ a\) (Fig. 12). De acuerdo con la Ec. (83), para utilizar el principio Huygens para el análisis del problema necesitamos tener\(\ \lambda<<a<<z\). Además, la versión simple (91) del principio sólo es válida para pequeños ángulos de observación,\(\ |x|<<z\). Obsérvese, sin embargo, que la relación entre dos parámetros adimensionales del problema\(\ a / \lambda\),\(\ z/a\) y, ambos mucho menores que 1, es hasta ahora arbitraria; como veremos en un minuto, esta relación determina el tipo del patrón de difracción observado.

Fig. 8.12. Difracción en una rendija.

Apliquemos la Ec. (91) a nuestro problema actual (Fig. 12), en aras de la simplicidad asumiendo la incidencia de onda normal, y tomando\(\ z^{\prime}=0\) en el plano de la pantalla:

\[\ f_{\omega}(x, z)=f_{0} \frac{k}{2 \pi i} \int_{-a}^{+a} d x^{\prime} \int_{-\infty}^{+\infty} d y^{\prime} \frac{\exp \left\{i k\left[\left(x-x^{\prime}\right)^{2}+y^{\prime 2}+z^{2}\right]^{1 / 2}\right\}}{\left[\left(x-x^{\prime}\right)^{2}+y^{\prime 2}+z^{2}\right]^{1 / 2}},\tag{8.104}\]

donde\(\ f_{0} \equiv f_{\omega}\left(x^{\prime}, 0\right)=\text { const }\) está la amplitud de la onda incidente. Esta es la misma integral que en la Ec. (85), a excepción de los límites finitos para la variable de integración\(\ x^{\prime}\), y puede simplificarse de manera similar, usando la condición de ángulo pequeño\(\ \left(x-x^{\prime}\right)^{2}+y^{\prime 2}<<z^{2}\):

\[\ f_{\omega}(x, z) \approx f_{0} \frac{k}{2 \pi i} \frac{e^{i k z}}{z} \int_{-a / 2}^{+a / 2} d x^{\prime} \int_{-\infty}^{+\infty} d y^{\prime} \exp \frac{i k\left[\left(x-x^{\prime}\right)^{2}+y^{\prime 2}\right]}{2 z} \equiv f_{0} \frac{k}{2 \pi i} \frac{e^{i k z}}{z} I_{x} I_{y}.\tag{8.105}\]

La integral sobre\(\ y^{\prime}\) es la misma que en la última sección:

\[\ I_{y} \equiv \int_{-\infty}^{+\infty} \exp \frac{i k y^{\prime 2}}{2 z} d y^{\prime}=\left(\frac{2 \pi i z}{k}\right)^{1 / 2},\tag{8.106}\]

pero la integral sobre\(\ x^{\prime}\) es más general, por sus límites finitos:

\[\ I_{x} \equiv \int_{-a / 2}^{+a / 2} \exp \frac{i k\left(x-x^{\prime}\right)^{2}}{2 z} d x^{\prime}.\tag{8.107}\]

Se puede simplificar en los siguientes dos límites (opuestos).

(i) La difracción de Fraunhofer tiene lugar cuando\(\ z / a >> a / \lambda\) — la relación que puede ser reescrita ya sea como\(\ a<<(z \lambda)^{1 / 2}\), o como\(\ k a^{2}<<z\). En este límite, la relación\(\ k x^{, 2} / z\) es despreciablemente pequeña para todos los valores de\(\ x^{\prime}\) debajo de la integral, y podemos aproximarla como

\ [\\ begin {alineado}
I_ {x} &=\ int_ {-a/2} ^ {+a/2}\ exp\ frac {i k\ left (x^ {2} -2 x x^ {\ prime} +x^ {\ prime 2}\ derecha)} {2 z} d x^ {\ prime}\ approx\ int_ {-a/2} ^ {+a/2}\ exp\ frac {i k\ izquierda (x^ {2} -2 x x^ {\ prime}\ derecha)} {2 z} d x^ {\ prime}\\
&\ equiv\ exp\ frac {i k x^ {2}} {2 z}\ int_ {-a /2} ^ {+a/2}\ exp\ izquierda\ {-\ frac {i k x x^ {\ prime}} {z}\ derecha\} d x^ {\ prime} =\ frac {2 z} {k x}\ exp\ izquierda\ {\ frac {i k x^ {2}} {2 z}\ derecha\}\ sin\ frac {k x a} 2 z},
\ end {alineado}\ tag {8.108}\]

para que la Eq. (105) rinda

\[\ f_{\omega}(x, z) \approx f_{0} \frac{k}{2 \pi i} \frac{e^{i k z}}{z} \frac{2 z}{k x}\left(\frac{2 \pi i z}{k}\right)^{1 / 2} \exp \left\{\frac{i k x^{2}}{2 z}\right\} \sin \frac{k x a}{2 z},\tag{8.109}\]

y por lo tanto la intensidad relativa de la onda es

\[\ \frac{\bar{S}(x, z)}{S_{0}}=\left|\frac{f_{\omega}(x, z)}{f_{0}}\right|^{2}=\frac{8 z}{\pi k x^{2}} \sin ^{2} \frac{k x a}{2 z} \equiv \frac{2}{\pi} \frac{k a^{2}}{z} \operatorname{sinc}^{2}\left(\frac{k a \theta}{2}\right),\quad\quad\quad\quad \text{Fraunhofer diffraction pattern}\tag{8.110}\]

donde\(\ S_{0}\) está la intensidad de la onda incidente, y\(\ \theta \equiv x / z<<1\) es el ángulo de observación. Comparando esta expresión con la Ec. (69), vemos que este patrón de difracción es exactamente el mismo que el de un objeto similar (uniforme, 1D) en la aproximación Born — ver la línea roja en la Fig. 8. Observe nuevamente que el ancho angular\(\ \delta \theta\) del patrón de Fraunhofer es del orden de\(\ 1/ka\), de manera que su ancho lineal\(\ \delta x=z \delta \theta\) es del orden de\(\ z / k a \sim z \lambda / a\). ⁴⁰ De ahí que la condición de validez de la aproximación de Fraunhofer también se pueda representar como\(\ a<<\delta x\).

(ii) Difracción de Fresnel. En el límite opuesto de una hendidura relativamente ancha, con\(\ a>>\delta x=z\delta\theta\sim z/ka\sim z \lambda /a \text {, i.e. } k a^{2} >>z\), los patrones de difracción en dos bordes de la hendidura están bien separados. Por lo tanto, cerca de cada borde (por ejemplo, cerca\(\ x^{\prime}=-a / 2\)) podemos simplificar la ecuación (107) como

\[\ I_{x}(x) \approx \int_{-a / 2}^{+\infty} \exp \frac{i k\left(x-x^{\prime}\right)^{2}}{2 z} d x^{\prime} \equiv\left(\frac{2 z}{k}\right)^{1 / 2} \int_{(k / 2 z)^{1 / 2}(x+a / 2)}^{+\infty} \exp \left\{i \zeta^{2}\right\} d \zeta,\tag{8.111}\]

y expresarlo a través de las funciones especiales llamadas integrales de Fresnel: ⁴¹

\[\ \mathscr{C}(\xi) \equiv\left(\frac{2}{\pi}\right)^{1 / 2} \int_{0}^{\xi} \cos \left(\zeta^{2}\right) d \zeta, \quad \mathscr{S}(\xi) \equiv\left(\frac{2}{\pi}\right)^{1 / 2} \int_{0}^{\xi} \sin \left(\zeta^{2}\right) d \zeta,\quad\quad\quad\quad\text{Fresnel integrals}\tag{8.112}\]

cuyas gráficas se muestran en la Fig. 13a. Como se mencionó anteriormente, a grandes valores de su argumento\(\ (\xi)\), ambas funciones tienden a 1⁄2.

Fig. 8. 13. a) Las integrales de Fresnel y b) su representación paramétrica.

Conectando esta expresión en las ecuaciones (105) y (111), para la intensidad de onda difractada, en el límite de Fresnel (es decir, at\(\ |x+a / 2|<<a\)), obtenemos

\[\ \text{Fresnel diffraction pattern}\quad\quad\quad\quad \frac{\bar{S}(x, z)}{S_{0}}=\frac{1}{2}\left\{\left[\mathscr{C}\left(\left(\frac{k}{2 z}\right)^{1 / 2}\left(x+\frac{a}{2}\right)\right)+\frac{1}{2}\right]^{2}+\left[\mathscr{S}\left(\left(\frac{k}{2 z}\right)^{1 / 2}\left(x+\frac{a}{2}\right)\right)+\frac{1}{2}\right]^{2}\right\}.\tag{8.113}\]

Una gráfica de esta función (Fig. 14) muestra que el patrón de difracción es muy peculiar: mientras que en la región “sombra” la intensidad de\(\ x<-a / 2\) la onda se desvanece monótonamente, la transición a la región “ligera” dentro de la brecha\(\ (x>-a / 2)\) va acompañada de oscilaciones de intensidad, al igual que en la difracción de Fraunhofer — cf. Fig. 8.

Fig. 8.14. El patrón de difracción de Fresnel.

Este comportamiento, que es descrito por las siguientes asíntotas,

\[\ \frac{\bar{S}}{S_{0}} \rightarrow \begin{cases}1+\frac{1}{\sqrt{\pi}} \frac{\sin \left(\xi^{2}-\pi / 4\right)}{\xi}, & \text { for } \xi \equiv\left(\frac{k}{2 z}\right)^{1 / 2}\left(x+\frac{a}{2}\right) \rightarrow+\infty, \\ \frac{1}{4 \pi \xi^{2}}, & \text { for } \xi \rightarrow-\infty,\end{cases}\tag{8.114}\]

es esencialmente un artefacto de “observar” solo la intensidad de la onda (es decir, su amplitud real) en lugar de su fase también. En efecto, como puede verse aún más claramente a partir de la presentación paramétrica de las integrales de Fresnel, mostrada en la Fig. 13b, estas funciones oscilan de manera similar a grandes valores positivos y negativos de su argumento. (Este famoso patrón se llama la espiral de Euler o la espiral de Cornu.) Físicamente, esto significa que la difracción de onda en el borde de la hendidura conduce a oscilaciones similares de su fase en\(\ x<-a / 2\) y\(\ x>-a / 2\); sin embargo, en esta última región (es decir, dentro de la hendidura) la onda difractada se solapa con la onda incidente que pasa a través de la hendidura directamente, y su interferencia revela la oscilaciones de fase, haciéndolas visibles en la intensidad medida también.

Obsérvese que de acuerdo con la Ec. (113), la escala lineal\(\ \delta x\) del patrón de difracción de Fresnel es del orden de\(\ (2 z / k)^{1 / 2}\), es decir, cumple con la estimación dada por la Ec. (90). Si la hendidura se estrecha gradualmente para que su anchura a se vuelva comparable a\(\ \delta x\), ⁴² los patrones de difracción de Fresnel de ambos bordes comienzan a “colisionar” (interferir). La onda resultante, completamente descrita por la Ec. (107), es apenas una suma de dos contribuciones del tipo (111) desde ambos bordes de la hendidura. El patrón de interferencia resultante es algo complicado, y solo cuando a se vuelve sustancialmente menor que\(\ \delta x\), se reduce al patrón simple de Fraunhofer (110).

Por supuesto, este cruce de la difracción de Fresnel a Fraunhofer también se puede observar, a longitud de onda fija\(\ \lambda\) y ancho de hendidura\(\ a\), aumentando\(\ z\), es decir, midiendo el patrón de difracción cada vez
más lejos de la hendidura.

Obsérvese también que el límite de Fraunhofer siempre es válido si la difracción se mide\(\ \theta\) solo en función del ángulo de difracción. Esto se puede hacer, por ejemplo, recogiendo la onda difractada con una lente “positiva” (convergente) y observando el patrón de difracción en su plano focal.

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Referencia

⁴⁰ Obsérvese también que ya que en este límite\(\ k a^{2}<<z\), la Ec. (97) muestra que incluso el valor máximo\(\ S(0, z)\) de la intensidad de la onda difractada es mucho menor que el\(\ \left(S_{0}\right)\) de la onda incidente. Esto es natural porque la potencia incidente\(\ S_{0} a\) por unidad de longitud de la hendidura ahora se distribuye sobre un ancho mucho mayor\(\ \delta x >> a\), así que eso\(\ S(0, z) \sim S_{0}(a / \delta x)<<S_{0}\).

⁴¹ También se pueden cumplir en la literatura definiciones ligeramente diferentes de estas funciones, que afectan a los factores constantes.

⁴² Tenga en cuenta que esta condición también puede ser reescrita como\(\ a \sim \delta x\), es decir\(\ z / a \sim a / \lambda\).