8.8: Difracción de Fraunhofer a partir de dispersores más complejos

Hasta el momento, nuestro análisis cuantitativo de difracción se ha limitado a una geometría muy simple, una sola hendidura en una pantalla opaca (Fig. 12). Sin embargo, en el límite más importante de Fraunhofer\(\ z>> k a^{2}\),, es fácil obtener una expresión muy simple para la difracción/interferencia de onda plana por un orificio plano (con un tamaño lineal\(\ \sim a\)) de forma arbitraria. En efecto, la evidente generalización 2D de la aproximación (106) - (107) es

\ [\\ begin {alineado}
I_ {x} I_ {y} &=\ int_ {\ text {orificio}}\ exp\ frac {i k\ left [\ left (x-x^ {\ prime}\ right) ^ {2} +\ left (y-y^ {\ prime}\ right) ^ {2}\ right]} {2 z} d x^ {\ prime} d y^ {\ prime}\\
&\ approx\ exp\ izquierda\ {\ frac {i k\ izquierda (x^ {2} +y^ {2}\ derecha)} {2 z}\ derecha\}\ int_ {\ texto {orificio}}\ exp\ izquierda\ {-i\ frac {k x x^ {\ prime}} {z} -i\ frac {k y y^ {\ prime}} {z}\ derecha\} d x^ {\ prime} d y^ {\ prime}
\ end {alineado}\ tag {8.115}\]

de manera que además del factor de fase total intrascendente, la Ec. (105) se reduce a

\[\ \text{General Fraunhofer diffraction pattern}\quad\quad\quad\quad f(\boldsymbol{\rho}) \propto f_{0} \int_{\text {orifice }} \exp \left\{-i \boldsymbol{\kappa} \cdot \boldsymbol{\rho}^{\prime}\right\} d^{2} \rho^{\prime} \equiv f_{0} \int_{\text {all screen }} T\left(\boldsymbol{\rho}^{\prime}\right) \exp \left\{-i \boldsymbol{\kappa} \cdot \boldsymbol{\rho}^{\prime}\right\} d^{2} \rho^{\prime}.\tag{8.116}\]

Aquí el vector 2D\(\ \boldsymbol{\kappa}\) (que no debe confundirse con el vector de onda k, que es prácticamente perpendicular a\(\ \boldsymbol{\kappa!}\)) se define como

\[\ \boldsymbol{\kappa} \equiv k \frac{\boldsymbol{\rho}}{z} \approx \mathbf{q} \equiv \mathbf{k}-\mathbf{k}_{0},\tag{8.117}\]

y\(\ \boldsymbol{\rho}=\{x, y\}\) y\(\ \boldsymbol{\rho^{\prime}}=\left\{x^{\prime}, y^{\prime}\right\}\) son vectores de radio 2D en los planos de observación y orificio, respectivamente, ambos casi normales a los vectores\(\ \mathbf{k}\) y\(\ \mathbf{k}_{0}\). En la última forma de la ecuación (116), la función\(\ T\left(\rho^{\prime}\right)\) describe la transparencia de la pantalla en el punto\(\ \boldsymbol{\rho’}\), y la integral está sobre todo el plano de la pantalla\(\ z^{\prime}=0\). (Aunque las dos formas de la Ec. (116) son estrictamente equivalentes solo si\(\ T\left(\rho^{\prime}\right)\) es igual a 1 o 0, su última forma puede obtenerse fácilmente de la ecuación (91) con\(\ f\left(r^{\prime}\right)=T\left(\rho^{\prime}\right) f_{0}\) para cualquier perfil de transparencia, siempre que\(\ T\left(\rho^{\prime}\right)\) sea cualquier función que cambie sustancialmente solo a distancias mucho mayores que \(\ \lambda \equiv 2 \pi / k\).)

Desde el punto de vista matemático, la última forma de la ecuación (116) es solo la transformada espacial 2D de Fourier de la función\(\ T\left(\rho^{\prime}\right)\), con la variable\(\ \boldsymbol{\kappa}\) definida por la posición del punto de observación:\(\ \boldsymbol{\rho}\equiv(z / k) \boldsymbol{\kappa} \equiv(z \lambda / 2 \pi) \boldsymbol{\kappa}\). Esta interpretación es útil por la experiencia que todos tenemos con la transformada de Fourier, aunque sólo sea en el contexto de sus aplicaciones de tiempo/frecuencia. Por ejemplo, si el orificio es un solo orificio pequeño,\(\ T\left(\rho^{\prime}\right)\) puede aproximarse mediante una función delta, de manera que la Ec. (116) rinde\(\ |f(\rho)| \approx \text { const }\). Este resultado corresponde (al menos para los ángulos de difracción pequeños\(\ \theta \equiv \rho / z\), para los cuales es válida la aproximación de Huygens) a una onda esférica que se extiende desde el orificio puntiforme. A continuación, para dos pequeños agujeros, la ecuación (116) da inmediatamente el patrón de interferencia (103). Permítanme ahora usar la ecuación (116) para analizar otros perfiles de transparencia 1D más simples (y más importantes), dejando casos 2D para el ejercicio del lector.

(i) Una sola hendidura de anchura a (Fig. 12) puede describirse por transparencia

\[\ T\left(\boldsymbol{\rho}^{\prime}\right)= \begin{cases}1, & \text { for }\left|x^{\prime}\right|<a / 2, \\ 0, & \text { otherwise}.\end{cases}\tag{8.118}\]

Su sustitución en la Ec. (116) rinde

\[\ f(\boldsymbol{\rho}) \propto f_{0} \int_{-a / 2}^{+a / 2} \exp \left\{-i \kappa_{x} x^{\prime}\right\} d x^{\prime}=f_{0} \frac{\exp \left\{-i \kappa_{x} a / 2\right\}-\exp \left\{i \kappa_{x} a / 2\right\}}{-i \kappa_{x}} \propto \operatorname{sinc}\left(\frac{\kappa_{x} a}{2}\right)=\operatorname{sinc}\left(\frac{k x a}{2 z}\right),\tag{8.119}\]

naturalmente regresándonos a las ecuaciones (64) y (110), y de ahí a las líneas rojas en la Fig. 8 para la intensidad de onda. (Por favor, tenga en cuenta nuevamente que la Ec. (116) describe solo el Fraunhofer, ¡pero no la difracción de Fresnel!)

(ii) Dos ranuras paralelas infinitamente estrechas, similares y con una mayor distancia\(\ a\) entre ellas (es decir, el modelo más simple del experimento de dos ranuras de Young) pueden describirse tomando

\[\ T\left(\boldsymbol{\rho}^{\prime}\right) \propto \delta\left(x^{\prime}-a / 2\right)+\delta\left(x^{\prime}+a / 2\right),\tag{8.120}\]

de manera que la Ec. (116) produce el patrón de interferencia 1D genérico,

\[\ f(\boldsymbol{\rho}) \propto f_{0}\left[\exp \left\{-\frac{i \kappa_{x} a}{2}\right\}+\exp \left\{\frac{i \kappa_{x} a}{2}\right\}\right] \propto \cos \frac{\kappa_{x} a}{2}=\cos \frac{k x a}{2 z},\tag{8.121}\]

cuya intensidad se muestra con la línea azul en la Fig. 8.

(iii) En un modelo más realista del experimento de Young, cada hendidura tiene un ancho (digamos,\(\ w\)) que es mucho mayor que la longitud de onda de la luz\(\ \lambda\), pero aún mucho más pequeño que el espaciado de las hendiduras\(\ a\). Esta situación puede ser descrita por la siguiente función de transparencia

\[\ T\left(\boldsymbol{\rho}^{\prime}\right)=\sum_{\pm} \begin{cases}1, & \text { for }\left|x^{\prime} \pm a / 2\right|<w / 2, \\ 0, & \text { otherwise },\end{cases}\tag{8.122}\]

para lo cual la Ec. (116) produce una combinación natural de los resultados (119) (con\(\ a\) reemplazado por w) y (121):

\[\ f(\mathbf{r}) \propto \operatorname{sinc}\left(\frac{k x w}{2 z}\right) \cos \left(\frac{k x a}{2 z}\right).\tag{8.123}\]

Este es el patrón de interferencia habitual, pero modulado con una envolvente de difracción de Fraunhofer, que se muestra en la Fig. 15 con la línea azul discontinua. Dado que la función\(\ \operatorname{sinc}^{2} \xi\) disminuye muy rápido más allá de sus primeros ceros en\(\ \xi=\pm \pi\), el número práctico de franjas de interferencia observables está cerca de\(\ 2a/w\).

Fig. 8.15. Patrón de interferencia de doble hendidura de Young para una hendidura de ancho finito.

(iv) Una estructura muy útil para la práctica experimental y de ingeniería es un conjunto de muchas ranuras paralelas similares, llamadas rejilla de difracción. ⁴⁶ Si el ancho de la hendidura es mucho menor que el periodo\(\ d\) de la rejilla, su función de transparencia puede aproximarse como

\[\ T\left(\boldsymbol{\rho}^{\prime}\right) \propto \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \delta\left(x^{\prime}-n d\right),\tag{8.124}\]

y Eq. (116) rendimientos

\[\ f(\boldsymbol{\rho}) \propto \sum_{n=-\infty}^{n=+\infty} \exp \left\{-i n \kappa_{x} d\right\}=\sum_{n=-\infty}^{n=+\infty} \exp \left\{-i \frac{n k x d}{z}\right\}\tag{8.125}\]

Esta suma se desvanece para todos los valores de\(\ \kappa_{x} d\) que no son múltiplos de\(\ 2 \pi\), de manera que el resultado describe picos de intensidad agudos en los siguientes ángulos de difracción:

\[\ \theta_{m} \equiv\left(\frac{x}{z}\right)_{m}=\left(\frac{\kappa_{x}}{k}\right)_{m}=\frac{2 \pi}{k d} m=\frac{\lambda}{d} m.\tag{8.126}\]

Teniendo en cuenta que este resultado sólo es válido para ángulos pequeños\(\ \left|\theta_{m}\right|<<1\), puede interpretarse exactamente como la Ec. (59) — ver Fig. 6a. Sin embargo, en contraste con la interferencia (121) de dos hendiduras, la interferencia destructiva de muchas hendiduras mata la onda neta tan pronto como el ángulo es incluso ligeramente diferente de cada valor (60). Esto es muy conveniente para fines espectroscópicos porque las líneas de difracción producidas por las ondas multifrecuencia no se superponen aunque las frecuencias de sus componentes adyacentes estén muy cercanas.

Dos características inevitables de las prácticas rejillas de difracción hacen que sus propiedades sean diferentes de esta imagen simple e ideal. Primero, el número finito\(\ N\) de hendiduras, que puede describirse limitando la suma (125) al intervalo\(\ n=[-N / 2,+N / 2]\), da como resultado una dispersión distinta de cero\(\ \delta \theta / \theta \sim 1 / N\), de cada pico de difracción, y por lo tanto en la reducción de la resolución espectral de la rejilla. (Las variaciones involuntarias de la distancia entre hendiduras\(\ d\) tienen un efecto similar, por lo que antes del advenimiento de la fotolitografía de alta resolución, se habían utilizado herramientas mecánicas especiales de alta precisión para la fabricación de rejillas).

En segundo lugar, un ancho de hendidura finito w conduce a la modulación del patrón de pico de difracción por una\(\ \operatorname{sinc}^{2}(k w \theta / 2)\) envolvente, similar al patrón mostrado en la figura 15. En realidad, para fines espectroscópicos, dicha modulación es a veces un plus, porque prácticamente se usa solo un pico de difracción (digamos, con\(\ m=\pm 1\)), y si el espectro de frecuencias de la onda analizada es muy amplio (abarca más de una octava), los picos más altos producen impedimentos indeseables. Por esta razón, frecuentemente\(\ w\) se selecciona para que sea igual exactamente a\(\ d/2\), suprimiendo así entre sí el máximo de difracción. Además, a veces se utilizan películas semitransparentes para hacer que la función de transparencia sea\(\ T\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)\) continua y cercana a una sinusoidal:

\[\ T\left(\boldsymbol{\rho}^{\prime}\right) \approx T_{0}+T_{1} \cos \frac{2 \pi x^{\prime}}{d} \equiv T_{0}+\frac{T_{1}}{2}\left(\exp \left\{i \frac{2 \pi x^{\prime}}{d}\right\}+\exp \left\{-i \frac{2 \pi x^{\prime}}{d}\right\}\right).\tag{8.127}\]

Conectando la última expresión a la ecuación (116) e integrando, vemos que la onda de salida consta de solo 3 componentes: la onda de paso directo (proporcional a\(\ T_{0}\)) y dos ondas difractadas (proporcionales a\(\ T_{1}\)) que se propagan en las direcciones de los dos ángulos Bragg más bajos,\(\ \theta_{\pm 1}=\pm \lambda / d\).

La misma Ec. (116) también puede ser utilizada para obtener un resultado más general (y bastante curioso), llamado el principio Babinet. ⁴⁷ Consideremos dos experimentos con la difracción de ondas planas similares en dos pantallas “complementarias” —que juntas cubrirían todo el plano, sin un agujero o un solapamiento. (Piense, por ejemplo, en un disco opaco de radio\(\ R\) y una gran pantalla opaca con un orificio redondo del mismo radio). Entonces, según el principio Babinet, los patrones de onda difractados producidos por estas dos pantallas en todas las direcciones con\(\ \theta \neq 0\) son idénticos.

La prueba de este principio es directa: ya que las funciones de transparencia producidas por las pantallas son complementarias en el siguiente sentido:

\[\ T\left(\boldsymbol{\rho}^{\prime}\right) \equiv T_{1}\left(\boldsymbol{\rho}^{\prime}\right)+T_{2}\left(\boldsymbol{\rho}^{\prime}\right)=1,\tag{8.128}\]

y (¡solo en la aproximación de Fraunhofer!) la onda difractada es una transformada de Fourier de\(\ T\left(\rho^{\prime}\right)\), que es una operación lineal, obtenemos

\[\ f_{1}(\boldsymbol{\rho})+f_{2}(\boldsymbol{\rho})=f_{0}(\boldsymbol{\rho}),\tag{8.129}\]

donde\(\ f_{0}\) está la onda “dispersada” por la pantalla compuesta con\(\ T_{0}\left(\rho^{\prime}\right) \equiv 1\), es decir, la onda inicial no perturbada que se propaga en la dirección inicial\(\ (\theta=0)\). En todas las demás direcciones,\(\ f_{1}=-f_{2}\), es decir, las ondas difractadas son de hecho similares además de la diferencia en el signo —que equivale a un desplazamiento de fase por\(\ \pm \pi\). Sin embargo, es importante recordar que el principio Babinet a pesar de que, en experimentos reales, con pantallas a distancias finitas, las ondas difractadas pueden interferir con la onda plana no perturbada\(\ f_{0}(\boldsymbol{\rho})\), conduciendo a diferentes patrones de difracción en los casos 1 y 2; véase, por ejemplo, la Fig. 14 y su discusión.

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Referencia

⁴⁶ El rudimentario efecto de rejilla de difracción, producido por las fibras paralelas de la pluma de un pájaro, fue descubierto ya en 1673 por James Gregory —quien también ha inventado el telescopio reflectante (“gregoriano”).

⁴⁷ Lleva el nombre de Jacques Babinet (1784-1874) quien ha hecho varias contribuciones importantes a la óptica.