1.2:1.2 La función exponencial
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La función exponencial, denotada por “\(\exp\)”, es una de las funciones más importantes en matemáticas. Lo trataremos en numerosas ocasiones, en muchos contextos diferentes.
Para motivar su definición, empecemos por pensar en lo que significa llevar un número\(x\) al poder de\(y\):
\[f(x)=x^{y}.\]
Para valores de\(y\) en los números naturales\(\mathbb{N} \equiv \{1,2,3,\dots\}\), la operación de potencia simplemente significa multiplicar\(x\) por sí mismo los\(y\) tiempos. Por ejemplo,\(x^4 = x \cdot x \cdot x \cdot x\). Pero ¿qué pasa con los poderes numéricos no naturales, como\(x^{-1}\) o\(x^{1/2}\) o\(x^{\pi}\)?
Para ayudar a responder a esta pregunta, definimos la función exponencial como las siguientes series infinitas limitantes:\[\exp(x) \equiv 1 + \sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n!}, \quad\mathrm{for}\;\, x \in \mathbb{R}.\]
Nota
Tenga en cuenta que la serie infinita en esta definición utiliza únicamente poderes numéricos naturales.
El dominio de la función exponencial es el conjunto de números reales,\(\mathbb{R}\), y su rango es el conjunto de números positivos,\(\mathbb{R}^+\).
Aquí hay una gráfica de la función:
El exponencial tiene varias características destacables:
- El valor de\(\exp(x)\) aumenta extremadamente rápido con el aumento\(x\). Yendo en la otra dirección, el valor se acerca a cero muy rápidamente con la disminución\(x\).
- \(\exp(0) = 1\). (Esto se desprende de la definición de lo exponencial.)
- Para todos\(x, y \in \mathbb{R}\),\[\exp(x+y) = \exp(x)\,\exp(y).\] Intenta probar esto como un ejercicio (ver Sección 1.8). Los ingredientes clave para la prueba son (i) la definición anterior del teorema exponencial y (ii) el binomio.
- Como corolario de las propiedades 2 y 3,\[\exp(-x) = 1/\exp(x).\]