1.3:1.3 La función logaritmo
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Dado que el exponencial es una función uno a uno, su inversa es una función bien definida. A esto lo llamamos logaritmo natural:\[\label{eq:1}\ln(x) \equiv y \;\; \mathrm{such}~\mathrm{that}\; \exp(y) = x.\] Por brevedad, en adelante usaremos “logaritmo” para referirnos al logaritmo natural, a menos que se indique lo contrario (los logaritmos “no naturales” no son nuestra preocupación en este curso). El dominio del logaritmo es\(y \in \mathbb{R}^+\), y su rango es\(\mathbb{R}\). Su gráfica se muestra a continuación:
Observe que la gráfica aumenta extremadamente lentamente con\(x\), precisamente lo contrario del comportamiento del exponencial.
Usando la ecuación (1.2.3), podemos probar que el logaritmo satisface las reglas de producto y cociente\[\begin{align} \ln(xy) &= \ln(x) + \ln(y) \\ \ln(x/y) &= \ln(x) - \ln(y).\end{align}\]