1.4: Poderes no naturales

Habiendo definido el exponencial y logaritmo, contamos con las herramientas necesarias para abordar el tema planteado anteriormente, es decir, cómo definir las operaciones de energía no naturales. En primer lugar, observar que de\[\textrm{For}\;\,y \in \mathbb{N}, \;\;\;\ln(x^y) = \underbrace{\ln(x)\ln(x)\cdots\ln(x)}_{y\;\text{times}} = y \ln(x).\] ahí, al aplicar lo exponencial a cada lado de la ecuación anterior,\[x^y = \exp[y \ln(x)] \quad \mathrm{for} \;\,y \in \mathbb{N}.\] podemos generalizar la ecuación anterior para que se mantenga para cualquier positivo\(x\) y real\(y\), no solo\(y \in \mathbb{N}\). En otras palabras, tratamos esto como nuestra definición de la operación de potencia para potencias no naturales:\[x^y \equiv \exp[y \ln(x)] \quad\; \mathrm{for}\;\, x \in \mathbb{R}^+, \;y \notin \mathbb{N}.\] Por esta definición, la operación de potencia siempre da un resultado positivo. Y para\(y \in \mathbb{N}\), el resultado de la fórmula es consistente con la definición estándar basada en multiplicar\(x\) por sí mismo los\(y\) tiempos.

Esta generalización de la operación de energía conlleva varias consecuencias importantes:

1. La unidad de rendimiento de potencia cero:\[\displaystyle x^0 = 1 \;\;\mathrm{for}\;\, x \in \mathbb{R}^+.\]

2. Los poderes negativos son recíprocos:\[x^{-y} = \exp[-y\ln(x)] = \exp[-\ln(x^y)] = \frac{1}{x^y}.\]

3. La salida de la función exponencial es equivalente a una operación de potencia:\[\exp(y) = e^y\] donde\[e \equiv \exp(1) = 2.718281828459\!\dots\] (Esto sigue enchufando\(x=e\) y usando el hecho de que\(\ln(e) = 1\).)

4. Porque\(x \le 0\), el significado de\(x^y\) para no natural\(y\) está mal definido, ya que el logaritmo no acepta entradas negativas.