1.8: Ejercicios

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Una definición alternativa de la función exponencial es la expresión limitante\[\exp(x) \equiv \lim_{n\rightarrow\infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^n.\] Demostrar que esto es equivalente a la definición en términos de una serie infinita,\[\exp(x) \equiv 1 + \sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n!}.\]

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Demostrar que\[\exp(x+y) = \exp(x)\,\exp(y)\] usando la definición de lo exponencial como una serie infinita. Su prueba debe evitar utilizar el concepto de “elevar al poder” de un número no natural; esto es para evitar la lógica circular, ya que esta característica de la función exponencial puede ser utilizada en la definición generalizada de la operación de potencia (Sección 1.4).

Contestar

Para probarlo\(\exp(x+y) = \exp(x)\,\exp(y)\), empleamos la fórmula de series infinitas\[\exp(x) = \sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}.\] Aquí, por conveniencia notacional, dejamos que la suma comience desde\(n = 0\), de manera que el término principal\(1\) en la definición de lo exponencial se agrupe con el resto de la suma como su primer término. Esto se basa en el entendimiento de que\(0! \equiv 1\), y que\(x^0 = 1\) (esta última es congruente con la definición generalizada de la operación de poder; pero para evitar la lógica circular, tratarla como la definición de\(x^0\) solo por el bien de esta prueba) . Comenzamos sustituyendo la fórmula de la serie en el lado derecho de nuestra ecuación objetivo:\[\exp(x)\exp(x) = \left(\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}\right)\;\left(\sum_{m=0}^\infty\frac{y^m}{m!}\right).\] Tenga en cuenta que usamos el símbolo\(n\) para la primera suma, y el símbolo\(m\) para la segunda suma;\(n\) y\(m\) están vinculados variables, cuyos términos recorren los valores especificados por los signos de suma. La elección real del símbolo utilizado en cualquiera de las dos sumas no es importante, excepto que no debemos usar el mismo símbolo para ambas sumas, porque las dos variables pertenecen a sumas distintas. En otras palabras:\[\exp(x)\exp(x) \ne \left(\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}\right)\;\left(\sum_{n=0}^\infty\frac{y^n}{n!}\right). \quad(\text{Nonsense expression!})\] A continuación, hacemos uso del hecho de que el producto de dos series se puede escribir como una suma doble:\[\exp(x)\exp(x) = \sum_{n=0}^\infty \sum_{m=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \frac{y^m}{m!}.\] Aquí, estamos sumando sobre todas las posibles combinaciones por pares de\(n\) y\(m\), que es precisamente lo que sucede cuando uno expande el producto de dos series según las reglas habituales del álgebra. El siguiente paso es realizar un cambio de variables sobre\(m\) y\(n\). En la expresión anterior, estamos sumando sobre todos los enteros no negativos\(m\) y\(n\); sin embargo, la variable enlazada\(n\) puede ser reexpresada en términos de una variable recién definida,\[N = m + n.\] En la suma doble original,\(n\) y \(m\)ambos corren de\(0\) a\(+\infty\), por lo que se deduce que su suma\(N\) va de\(0\) a\(+\infty\). Por cada valor dado de\(N\), podemos escribir\(n = N - m\), y además los valores permitidos de solo\(m\) pasarían de\(0\) a\(N\) (no puede exceder\(N\), de lo contrario\(n\) sería negativo). De esta manera, la suma doble se convierte a\[\exp(x)\exp(x) = \sum_{N=0}^\infty \sum_{m=0}^N \frac{x^{N-m}}{(N-m)!} \frac{y^m}{m!}\] Note que después de este cambio de variables, los dos signos de suma ya no son intercambiables. En el\(\sum_{m=0}^N\) signo, la variable\(N\) aparece en el límite superior, por lo que esto necesita escribirse a la derecha de\(\sum_{N=0}^\infty\). Una suma queda así “encapsulada” dentro de la otra; podríamos escribir la expresión algebraica más rigurosamente así:\[\exp(x)\exp(x) = \sum_{N=0}^\infty \left(\sum_{m=0}^N \frac{x^{N-m}}{(N-m)!} \frac{y^m}{m!}\right).\] Finalmente, usamos el teorema binomial para simplificar la suma interna:\[\exp(x)\exp(x) = \sum_{N=0}^\infty \frac{\left(x + y\right)^N}{N!}, \;\;\;\text{since} \;\; (x+y)^N = \sum_{m=0}^N \frac{N!}{m!(N-m)!} x^{N-m} \, y^m.\] Refiriéndose de nuevo a la definición de serie de lo exponencial, obtenemos el resultado deseado:\[\exp(x)\exp(x) = \exp(x+y)\]

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Una de las características más importantes de la función exponencial\(\exp(x)\) es que se agranda extremadamente rápidamente con el aumento\(x\). Para ilustrar este comportamiento, considere la gráfica que se muestra en la Sección 1.2, que traza la exponencial hasta\(x = 4\). En su pantalla o página, la altura de la gráfica debe ser de alrededor de 4 cm. Supongamos que nos mantenemos en la misma resolución, y trazamos hasta\(x = 10\); ¿qué tan alta sería la gráfica? ¿Y si tramamos hasta\(x = 20\)?

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Demostrar que\(\displaystyle \exp(x) = e^x.\)

Contestar

La definición de poderes no naturales es\[a^b = \exp[b\ln(a)].\] Let\(a = \exp(1) = e\) y\(b = x\). Entonces\[^x = \exp\left[x\ln\Big(\exp(1)\Big)\right].\] Dado que el logaritmo es el inverso de la función exponencial,\(\ln(\exp(1)) = 1\). Por lo tanto,\[e^x = \exp(x).\]

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Un logaritmo “no natural” de base\(c\) se define como\[\log_c(x) = y \quad\mathrm{where}\;\; c^y = x.\] Derivar una expresión para el logaritmo no natural en términos del logaritmo natural.

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Demostrar, usando trigonometría, que\[\sin(\theta_1 + \theta_2) = \sin(\theta_1) \cos(\theta_2) + \cos(\theta_1)\sin(\theta_2).\] Usted puede asumir que\(\theta_1, \theta_2 \in [0, \pi/2].\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Demostrar que\[\begin{align} \cos(3x) &= 4[\cos(x)]^3 -3\cos(x) \\ \sin(3x) &= 3\sin(x)-4[\sin(x)]^3. \end{align}\]