2: Derivados

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La derivada de una función\(f\) es otra función\(f'\),, definida como\[f'(x) \;\equiv\; \frac{df}{dx} \;\equiv\; \lim_{\delta x \rightarrow 0} \, \frac{f(x + \delta x) - f(x)}{\delta x}.\] Este tipo de expresión se denomina expresión limit porque implica un límite (en este caso, el límite donde\(\delta x\) va a cero).

Si la derivada existe dentro de algún dominio de\(x\) (es decir, la expresión límite anterior está matemáticamente bien definida), entonces decimos que\(f\) es diferenciable en ese dominio. Se puede demostrar que una función diferenciable es automáticamente continua.

Gráficamente, la derivada representa la pendiente de la gráfica de\(f(x)\), como se muestra a continuación:

Si\(f\) es diferenciable, podemos definir su derivada de segundo orden\(f''\) como la derivada de\(f'\). Los derivados de tercer orden y de orden superior se definen de manera similar.

2.1: Propiedades de los Derivados
2.2: Serie Taylor
2.3: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
2.4: Derivadas Parciales
Las funciones también pueden tomar múltiples entradas; por ejemplo, una función f (x, y) mapea dos números de entrada, x e y, y emite un número. En general, se permite que las entradas varíen independientemente unas de otras. La derivada parcial de tal función es su derivada con respecto a una de sus entradas, manteniendo las otras fijas.
2.5: Ejercicios