2.1: Propiedades de los Derivados

Reglas para expresiones límite

Dado que los derivados se definen usando expresiones limit, revisemos las reglas que rigen los límites.

Primero, el límite de una superposición lineal es igual a la superposición lineal de límites. Dadas dos constantes\(a_1\) y\(a_2\) y dos funciones\(f_1\) y\(f_2\),

\[\lim_{x \rightarrow c} \big[a_1 \,f_1(x) \;+\; a_2\, f_2(x)\big] = a_1 \lim_{x \rightarrow c} f_1(x) \;+\; a_2 \lim_{x \rightarrow c} f_2(x).\]

Segundo, los límites obedecen a una regla de producto y a una regla de cociente:\[\begin{align}\lim_{x \rightarrow c} \big[\;f_1(x) \; f_2(x)\;\big] &= \Big[\lim_{x \rightarrow c} f_1(x)\Big]\;\Big[\lim_{x \rightarrow c} f_2(x)\Big] \\ \lim_{x \rightarrow c} \left[\;\frac{f_1(x)}{f_2(x)}\;\right] &= \frac{\lim_{x \rightarrow c} f_1(x)}{\lim_{x \rightarrow c} f_2(x)}. \end{align}\] Como excepción especial, la regla del producto y la regla del cociente son inaplicables si resultan en\(0 \times \infty\),\(\infty/\infty\), o\(0/0\), que son indefinidos. Como ejemplo de por qué tales combinaciones son problemáticas, considera esto:\[\lim_{x \rightarrow 0} \;x = \lim_{x \rightarrow 0}\Big[\,x^2\;\frac{1}{x}\;\Big] \overset{?}{=} \lim_{x \rightarrow 0}\Big[\,x^2\,\Big]\; \lim_{x \rightarrow 0}\Big[\,\frac{1}{x}\,\Big] = 0 \, \times \, \infty \;\;(??)\] De hecho, la expresión limit tiene el valor de 0; no era correcto aplicar la regla del producto en el segundo paso.

Reglas de composición para derivados

Usando las reglas para las expresiones límite, podemos derivar las reglas elementales de composición para derivados: Todas\[\begin{align} \frac{d}{dx}\big[\,\alpha\, f(x) + \beta\, g(x)\,\big] &= \alpha\, f'(x) + \beta\, g'(x) \quad &\textrm{(linearity)}& \\ \frac{d}{dx}\big[\,f(x) \, g(x)\,\big] &= f(x) \, g'(x) + f'(x) \, g(x) &\textrm{(product}\;\textrm{rule)}& \\ \frac{d}{dx}\big[\,f(g(x))\,\big] &= f'(g(x)) \, g'(x) &\textrm{(chain}\;\textrm{rule)}&\end{align}\] estas pueden probarse mediante la sustitución directa en la definición de la derivada, y tomando órdenes de límites apropiados. Con la ayuda de estas reglas, podemos probar diversos resultados estándar, como la “regla de poder” para los derivados:\[\frac{d}{dx} \big[x^n\big] = n x^{n-1}, \;\;n \in \mathbb{N}.\]

La linealidad de la operación derivada implica que los derivados “conmutan” con sumas, es decir, se pueden mover a la izquierda o derecha de los signos de suma. Esta es una característica muy útil. Por ejemplo, podemos usarlo para probar que lo exponencial es su propio derivado, de la siguiente manera:\[\begin{align} \frac{d}{dx} \left[\exp(x)\right] &= \frac{d}{dx} \sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!} \\ &= \sum_{n=0}^\infty\frac{d}{dx} \, \frac{x^n}{n!} \\ &= \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} \\ &=\exp(x).\end{align}\]

Los derivados también se desplazan con límites. Por ejemplo, podemos usar esto en la definición alternativa de la función exponencial del Ejercicio 1 del Capítulo 1:\[\begin{align} \frac{d}{dx} \left[\exp(x)\right] &= \frac{d}{dx} \lim_{n\rightarrow\infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^n \\ &= \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{d}{dx} \left(1+\frac{x}{n}\right)^n \\ &= \lim_{n\rightarrow\infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^{n-1} \\ &= \exp(x).\end{align}\]