2.2: Serie Taylor

Una función es infinitamente diferenciable en un punto\(x_0\) si todos los órdenes de derivados (es decir, la primera derivada, la segunda derivada, etc.) están bien definidos en\(x_0\). Si una función es infinitamente diferenciable en\(x_0\), entonces cerca de ese punto se puede expandir en una serie de Taylor:\[\begin{align} f(x) \;&\leftrightarrow\; \sum_{n=0}^\infty \frac{(x-x_0)^n}{n!} \left[\frac{d^nf}{dx^n}\right](x_0) \\ &=\; f(x_0) + (x-x_0)\, f'(x_0) + \frac{1}{2}\, (x-x_0)^2\, f''(x_0) + \cdots\end{align}\] Aquí, la “derivada cero” se refiere a la función misma. La serie Taylor se puede derivar asumiendo que se\(f(x)\) puede escribir como un polinomio general involucrando términos de la forma\((x-x_0)^n\), y luego usando la definición de la derivada para encontrar los coeficientes de la serie.

Muchas funciones comunes encontradas tienen series de Taylor que son exactas (es decir, la serie es convergente e igual al valor de la función misma) sobre alguna parte de su dominio. Pero cuidado: ¡es posible que una función tenga una serie Taylor divergente, o una serie Taylor que converja a un valor diferente al de la función misma! Las condiciones bajo las que esto sucede es un tema complicado en el que no vamos a ahondar.

Aquí algunas series útiles de Taylor:\[\begin{align} \frac{1}{1-x} &= 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots \qquad\quad \mathrm{for} \; |x| < 1 \\ \ln(1-x) &= -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} - \cdots \quad \mathrm{for} \; |x| < 1 \\ \sin(x) &= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \label{sin_taylor} \\ \cos(x) &= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots \label{cos_taylor} \\ \sinh(x) &= x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^7}{7!} + \cdots \\ \cosh(x) &= 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + \cdots \label{cosh_taylor}\end{align}\] Las últimas cuatro series de Taylor\(\eqref{cosh_taylor}\),\(\eqref{sin_taylor}\) -, convergen al valor de la función para todos\(x\in\mathbb{R}\).