2.5: Ejercicios

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Mostrar que si una función es diferenciable, entonces también es continua.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Demostrar que el derivado de\(\ln(x)\) es\(1/x\).

Contestar

Si\(y = \ln(x)\), se desprende de la definición del logaritmo que\[\exp(y) = x.\] Tomando\(d/dx\) en ambos lados, y usando la regla del producto, da\[\frac{dy}{dx} \, \exp(y) = 1 \;\;\; \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\exp(y)} = \frac{1}{x}.\]

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Utilizando la definición de poderes no naturales, demostrar que\[\frac{d}{dx} [x^y] = y x^{y-1}, \quad\mathrm{for}\;\;x \in \mathbb{R}^+, \; y \notin \mathbb{N}.\]

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Considerar\(f(x) = \tanh(\alpha x)\).

1. Croquis\(f(x)\) versus\(x\), para dos casos: i)\(\alpha = 1\) y ii)\(\alpha \gg 1\).
2. Esboce la función derivada\(f'(x)\) para los dos casos, basándose en sus bocetos en la parte (A) (es decir, sin evaluar la derivada directamente).
3. Evalúe la función derivada y verifique que el resultado coincida con sus bocetos en la parte (B).

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Demostrar geométricamente que las derivadas de las funciones seno y coseno son:\[\frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x), \quad\frac{d}{dx}\cos(x) = -\sin(x).\] De ahí, derivar sus series Taylor, Eqs. (2.2.5) y (2.2.6).

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Para cada una de las siguientes funciones, derivar la serie Taylor en torno a\(x = 0\):

1. \(f(x) = \ln\left[\alpha \cos(x)\right]\), a los tres primeros términos que no se desvanecen.
2. \(f(x) = \cos\left[\pi\exp(x)\right]\), a los primeros 4 términos que no se desvanecen.
3. \(\displaystyle f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 \pm x}}\), a los primeros 4 términos que no se desvanecen. Mantenga un registro de las señales (es decir,\(\pm\) versus\(\mp\)).

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Para cada una de las siguientes funciones, esboce la gráfica y establezca los dominios sobre los que la función es diferenciable:

1. \(f(x) = |\sin(x)|\)

2. \(f(x) = \left[\tan(x)\right]^2\)

3. \(\displaystyle f(x) = \frac{1}{1-x^2}\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Let\(\vec{v}(x)\) be una función vectorial que toma una entrada\(x\) (un número), y da un valor de salida\(\vec{v}\) que es un vector de 2 componentes. La derivada de esta función vectorial se define en términos de las derivadas de cada componente vectorial:\[\vec{v}(x) = \begin{bmatrix}v_1(x) \\ v_2(x)\end{bmatrix} \;\; \Rightarrow \;\; \frac{d\vec{v}}{dx} = \begin{bmatrix}dv_1/dx \\ dv_2/dx\end{bmatrix}.\] Ahora supongamos\(\vec{v}(x)\) obedece a la ecuación diferencial vectorial\[\frac{d\vec{v}}{dx} = \mathbf{A} \vec{v},\] donde\[\mathbf{A} = \begin{bmatrix}A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22}\end{bmatrix}\] se encuentra una matriz que tiene dos vectores propios reales distintos con valores propios reales.

1. ¿Cuántos números independientes necesitamos especificar para la solución general?

2. Dejar\(\vec{u}\) ser uno de los vectores propios de\(\mathbf{A}\), con valor propio\(\lambda\):\[\mathbf{A} \vec{u} = \lambda \vec{u}.\] Mostrar que\(\vec{v}(x) = \vec{u}\, e^{\lambda x}\) es una solución específica a la ecuación diferencial vectorial. De ahí, encontrar la solución general.

Contestar

Para una ecuación diferencial ordinaria para una función escalar (de un componente) de orden\(n\), la solución general debe contener variables\(n\) independientes. En este caso,\(\vec{v}\) es una función de dos componentes, por lo que requiere variables\(2n\) indpendientes. La ecuación diferencial\[\frac{d\vec{v}}{dx} = \mathbf{A} \vec{v}\] tiene orden\(n = 1\), por lo que se requiere un total de 2 variables independientes para la solución general.

Dejar\(u\) ser un vector propio de\(\mathbf{A}\) con valor propio\(\lambda\), y supongamos que\(\vec{v}(x) = \vec{u}\,e^{\lambda x}\) (tenga en cuenta que en\(\vec{u}\) sí no depende\(x\)). Entonces\[\begin{align} \frac{d\vec{v}}{dx} &= \vec{u} \frac{d}{dx}\left(e^{\lambda x}\right) \\ &= \lambda \, \vec{u}\, e^{\lambda x} \\ &= \left(\mathbf{A} \vec{u}\right) e^{\lambda x} \\ &= \mathbf{A} \left(\vec{u} e^{\lambda x}\right) \\ &= \mathbf{A} \vec{v}(x).\end{align}\] De ahí,\(\vec{v}(x)\) satisface la ecuación diferencial deseada.

Dejar\(\vec{u}_1\) y\(\vec{u}_2\) ser los vectores propios de\(\mathbf{A}\), con valores propios\(\lambda_1\) y\(\lambda_2\). Las soluciones generales serán\[\vec{v}(x) = c_1 \vec{u}_1 e^{\lambda_1 x} + c_2 \vec{u}_2 e^{\lambda_2 x},\] dónde\(c_1\) y\(c_2\) son variables independientes.