2.4: Derivadas Parciales

Hasta el momento, nos hemos centrado en funciones que toman una sola entrada. Las funciones también pueden tomar múltiples entradas; por ejemplo, una función\(f(x,y)\) mapea dos números de entrada\(x\) y\(y\), y emite un número. En general, se permite que las entradas varíen independientemente unas de otras. La derivada parcial de tal función es su derivada con respecto a una de sus entradas, manteniendo las otras fijas. Por ejemplo,

\[f(x,y) = \sin(2x - 3 y^2)\]

tiene derivados parciales

\[\begin{align} \frac{\partial f}{\partial x} &= 2\cos(2x-3y^2), \\[4pt] \frac{\partial f}{\partial y} &= - 6\cos(2x-3y^2).\end{align}\]

Cambio de variables

Vimos en la Sección 2.1 que las funciones de una sola variable obedecen a una regla de composición derivada,

\[\frac{d}{dx}\, f\big(g(x)\big) = g'(x) \, f'\big(g(x)\big).\]Esta regla de composición tiene una generalización importante para las derivadas parciales, la cual se relaciona con el concepto físico de un cambio de coordenadas. Supongamos que una función\(f(x,y)\) toma dos entradas\(x\) y\(y\), y deseamos expresarlas usando un sistema de coordenadas diferente denotado por\(u\) y\(v\). En general, cada coordenada en el sistema antiguo depende de ambas coordenadas en el nuevo sistema:

\[x = x(u,v), \quad y = y(u,v).\]

Expresada en las nuevas coordenadas, la función es

\[F(u,v) \equiv f\big(x(u,v), y(u,v)\big).\]Se puede demostrar que las derivadas parciales de la función transformada obedecen a la regla de composición

\[\begin{align} \frac{\partial F}{\partial u} &= \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u}\\[4pt] \frac{\partial F}{\partial v} &= \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v}.\end{align}\]

En el lado derecho de estas ecuaciones, las derivadas parciales deben expresarse en términos de las nuevas coordenadas\((u,v)\). Por ejemplo,

\[\frac{\partial f}{\partial x} = \left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{x = x(u,v), \;y= y(u,v)}\]

La generalización de esta regla a más de dos entradas es sencilla. Para una función\(f(x_1, \dots, x_N)\), un cambio de coordenadas\(x_i = x_i(u_1, \dots, u_N)\) implica la composición

\[F(u_1, \dots, u_N) = f\big(x_1(u_1,\dots,u_N\big), \dots), \quad \frac{\partial F}{\partial u_i} = \sum_{j=1}^N \frac{\partial x_j}{\partial u_i} \frac{\partial f}{\partial x_j}.\]

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

En dos dimensiones, las coordenadas cartesianas y polares están relacionadas por

\[x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta.\]Dada una función\(f(x,y)\), podemos reescribirla en coordenadas polares como\(F(r,\theta)\). Las derivadas parciales están relacionadas por

\[\begin{align} \frac{\partial F}{\partial r} &= \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial r} = \frac{\partial f}{\partial x} \cos\theta + \frac{\partial f}{\partial y} \sin\theta. \\[4pt] \frac{\partial F}{\partial \theta} &= \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial \theta} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial \theta} = -\frac{\partial f}{\partial x} r\,\sin\theta + \frac{\partial f}{\partial y} r\cos\theta. \end{align}\]

Ecuaciones diferenciales parciales

Una ecuación diferencial parcial es una ecuación diferencial que involucra múltiples derivadas parciales (a diferencia de una ecuación diferencial ordinaria, que involucra derivadas con respecto a una sola variable). Un ejemplo de una ecuación diferencial parcial encontrada en la física es la ecuación de Laplace,

\[\frac{\partial^2 \Phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \Phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \Phi}{\partial z^2}= 0,\]que describe el potencial electrostático\(\Phi(x,y,z)\) en posición\((x,y,z)\), en ausencia de cargas eléctricas.

Las ecuaciones diferenciales parciales son considerablemente más difíciles de resolver que las ecuaciones diferenciales ordinarias. En particular, sus condiciones de límite son más complicadas de especificar: mientras que cada condición de límite para una ecuación diferencial ordinaria consiste en un solo número (por ejemplo, el valor de\(f(x)\) en algún punto\(x = x_0\)), cada condición de límite para un diferencial parcial consiste en una función (por ejemplo, los valores de\(\Phi(x,y,z)\) a lo largo de alguna curva\(g(x,y,z) = 0\)).