3.3: Integración por Partes

Si el integrando consta de dos factores, y conoces la antiderivada de uno de los factores, puedes integrarlo por partes desplazando la derivada al otro factor:\[\int_a^b dx \; f(x) \, \frac{dg}{dx} \;=\; \Big[\,f(x)\, g(x)\,\Big]_a^b - \int_a^b \frac{df}{dx}\, g(x).\] El primer término del lado derecho es una constante que denota\([f(a)g(a) - f(b)g(b)]\). Ojalá que la integral en el segundo término sea más fácil de resolver que la integral original.

El uso juicioso de la integración por partes es un paso clave para resolver muchas integrales. Por ejemplo, consideremos\[\int_a^b dx\; x \, e^{\gamma x}.\] El integrando consta de dos factores,\(x\) y\(e^{\gamma x}\); resulta que conocemos la antiderivada de ambos factores. La integración por partes nos permite reemplazar uno de estos factores con su antiderivado, al tiempo que aplicamos una derivada adicional sobre el otro factor. Lo inteligente a hacer es aplicar la derivada sobre el\(x\) factor, y la antiderivada sobre el\(e^{\gamma x}\):\[\begin{align} \int_a^b dx\; x\, e^{\gamma x} \;&=\; \left[\;x\, \frac{e^{\gamma x}}{\gamma}\, \right]_a^b - \int_a^b dx\; \frac{e^{\gamma x}}{\gamma} \\ &=\; \left[\;x\, \frac{e^{\gamma x}}{\gamma} - \frac{e^{\gamma x}}{\gamma^2} \,\right]_a^b.\end{align}\] Siempre que terminemos de hacer una integral, es una buena práctica verificar dos veces el resultado asegurándose de que las dimensiones coincidan. Tenga en cuenta que\(\gamma\) tiene unidades de inversa\(x\), por lo que la integral en el lado izquierdo tiene unidades de\(x^2\). La solución del lado derecho tiene dos términos, con unidades\(x/\gamma\) y\(1/\gamma^2\); ambos son equivalentes a unidades de\(x^2\), ¡que es lo que necesitamos!