3.4: Cambio de Variables
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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
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\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
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\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
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\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
Otra técnica útil para resolver integrales es cambiar variables. Considera\[\int_0^\infty \frac{dx}{x^2 + 1}.\] lo integral Podemos resolver esto haciendo un cambio de variables\(x = \tan(u)\). Esto implica (i) reemplazar todas las ocurrencias de\(x\) en el integrando con\(\tan(u)\), (ii) reemplazar los límites integrales, y (iii) reemplazar\(dx\) con\((dx/du) \, du = 1/[\cos(u)]^2 du\):\[\begin{align} \int_0^\infty \frac{dx}{x^2 + 1} &= \int_0^{\pi/2} \frac{1}{[\tan(u)]^2 + 1} \cdot \frac{1}{[\cos(u)]^2} \; du \\ &= \int_0^{\pi/2} \frac{1}{[\sin(u)]^2 + [\cos(u)]^2} \; du.\end{align}\] Debido al teorema de Pitágoras, el integrando se reduce a 1, por lo que \[\int_0^\infty \frac{dx}{x^2 + 1} = \int_0^{\pi/2} du = \frac{\pi}{2}.\]Claramente, esta técnica a menudo requiere cierta astucia y/o prueba y error para elegir el cambio correcto de variables.