4.1: Álgebra compleja

Cualquier número complejo se\(z\) puede escribir como\[z = x + i y,\] donde\(x\) y\(y\) son números reales que se llaman respectivamente la parte real y la parte imaginaria de\(z\). Las partes real e imaginaria también se denotan como\(\mathrm{Re}(z)\) y\(\mathrm{Im}(z)\), donde\(\mathrm{Re}\) y\(\mathrm{Im}\) pueden considerarse como funciones que mapean un número complejo a un número real.

El conjunto de números complejos se denota por\(\mathbb{C}\). Podemos definir operaciones algebraicas sobre números complejos (suma, resta, productos, etc.) siguiendo las reglas habituales del álgebra y configurando\(i^2 = -1\) cada vez que aparezca.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Vamos\(z = x + i y\), dónde\(x, y \in \mathbb{R}\).
¿Cuáles son las partes reales e imaginarias\(z^2\)? \[\begin{align} z^2 &= (x+iy)^2 \\ &= x^2 + 2x(iy) + (iy)^2 \\ &= x^2 - y^2 + 2ixy \end{align}\]Por lo tanto,\[\mathrm{Re}(z^2) = x^2 -y^2, \;\;\; \mathrm{Im}(z^2) = 2xy.\]

También podemos realizar operaciones de energía en números complejos, con una advertencia: por ahora, solo consideraremos potencias enteras como\(z^2\) o\(z^{-1} = 1/z\). Poderes no enteros, como\(z^{1/3}\), introducen complicaciones vejatorias que pospondremos por ahora (descubriremos cómo lidiar con ellos al estudiar puntos de sucursal y cortes de rama en el Capítulo 7).

Otro dato útil: los coeficientes reales (y solo los coeficientes reales) pueden moverse libremente dentro o fuera de\(\textrm{Re}(\cdots)\) las\(\textrm{Im}(\cdots)\) operaciones:\[\left\{\begin{array}{l} \mathrm{Re}(\alpha z + \beta z') = \alpha \, \mathrm{Re}(z) + \beta\, \mathrm{Re}(z')\\ \mathrm{Im}(\alpha z + \beta z') = \alpha \, \mathrm{Im}(z) + \beta\, \mathrm{Im}(z')\end{array}\right.\qquad\mathrm{for}\;\alpha, \beta \in \mathbb{R}.\]

Como consecuencia, si tenemos una función compleja de una variable real, la derivada de esa función se puede calcular a partir de las derivadas de las partes real e imaginaria, como se muestra en el siguiente ejemplo:

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Si\(z(t)\) es una función compleja de una entrada real\(t\), entonces\[\mathrm{Re}\left[\frac{dz}{dt}\right] = \frac{d}{dt} \mathrm{Re}\left[z(t)\right], \;\;\textrm{and}\;\;\; \mathrm{Im}\left[\frac{dz}{dt}\right] = \frac{d}{dt} \mathrm{Im}\left[z(t)\right].\] Esto se puede probar usando la definición de la derivada:\[\begin{align} \mathrm{Re}\left[\frac{dz}{dt}\right] &= \;\; \mathrm{Re}\left[\lim_{\delta t \rightarrow 0} \frac{z(t+\delta t) - z(t)}{\delta t}\right] \\ &= \lim_{\delta t \rightarrow 0} \left[\frac{\mathrm{Re}[z(t+\delta t)] - \mathrm{Re}[z(t)]}{\delta t}\right] \\ &= \frac{d}{dt} \mathrm{Re}\left[z(t)\right]. \end{align}\] El\(\mathrm{Im}[\cdots]\) caso funciona de manera similar. Tenga en cuenta que la cantidad infinitesimal\(\delta t\) es real; de lo contrario, esto no funcionaría.