4.2: Conjugados y Magnitudes
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Para cada número complejo\(z = x + iy\), su conjugado complejo es un número complejo cuya parte imaginaria tiene el signo volteado: La\[z^* = x - i y.\] conjugación obedece a dos propiedades importantes:\[\begin{align} (z_1 + z_2)^* &= z_1^* + z_2^* \\ (z_1 z_2)^* &= z_1^* z_2^*.\end{align}\]
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
Demostrémoslo\((z_1 z_2)^* = z_1^* z_2^*\). Primero, vamos\(z_1 = x_1 + i y_1\) y\(z_2 = x_2 + i y_2\). Entonces,\[\begin{align} (z_1 z_2)^* &= \left[(x_1+iy_1)(x_2+iy_2)\right]^* \\ &= \left[\left(x_1 x_2 - y_1 y_2\right) + i\left(x_1y_2+y_1x_2\right)\right]^* \\ &= \left(x_1 x_2 - y_1 y_2\right) - i\left(x_1y_2+y_1x_2\right) \\ &= \left(x_1 - i y_1\right)\left(x_2 - i y_2\right) \\ &= z_1^* z_2^* \end{align}\]
Para un número complejo\(z = x + i y\), la magnitud del número complejo es\[|z| = \sqrt{x^2 + y^2}.\] Este es un número real no negativo. Un número complejo y su conjugado tienen la misma magnitud:\(|z| = |z^*|\). También, podemos demostrar que las magnitudes complejas tienen la propiedad\[|z_1 z_2| = |z_1| \, |z_2|.\] Esta propiedad es similar a la operación de “valor absoluto” para números reales, de ahí la notación similar.
Como corolario, tomar una potencia de un número complejo eleva su magnitud por el mismo poder:\[|z^n| = |z|^n \;\;\;\textrm{for}\;\;n \in \mathbb{Z}.\]