4.7: ¿Por qué números complejos?

Aquí hay algunas preguntas que podrían haberte ocurrido:

• Si extendemos el concepto de números a números complejos, ¿por qué parar aquí? ¿Por qué no ampliar más el concepto y formular otros sistemas numéricos abstractos que sean aún más complicados que los números complejos?

• Los números enteros y reales tienen conexiones intuitivas con los fenómenos que experimentamos en la vida cotidiana, como el conteo de objetos discretos, o la medición de longitudes y pesos. Los números complejos, sin embargo, parecen conceptos completamente abstractos. ¿Por qué deberíamos estudiarlos?

Como hemos visto, los números complejos son objetos matemáticos atractivos porque pueden ser manipulados a través de las mismas reglas de álgebra que los números reales. Podemos sumarlos, restarlos, multiplicarlos y dividirlos (aparte de la división por cero), sin toparnos con inconsistencias lógicas. Una limitación es que los números complejos no tienen ordenamiento (Sección 4.4), por lo que el álgebra compleja solo involucra ecuaciones, no relaciones de desigualdad.

Una característica muy importante que poseen los números complejos y no los números reales es que los números complejos están algebraicamente cerrados. Esto significa que todas las ecuaciones polinómicas complejas tienen soluciones en\(\mathbb{C}\). El conjunto de números reales,\(\mathbb{R}\), carece de esta propiedad: hay ciertas ecuaciones algebraicas reales, como\(x^2 + 1 = 0\), que no tienen solución en\(\mathbb{R}\). La propiedad de “cierre” de\(\mathbb{C}\) se llama Teorema Fundamental del Álgebra, lo que da una idea de su importancia. Como consecuencia,\(\mathbb{C}\) no se puede generalizar a un sistema de números más complicado a través de la misma ruta utilizada para extenderse\(\mathbb{R}\) hacia\(\mathbb{C}\).

Existen sistemas numéricos más complicados que los números complejos, los cuales se formulan no por extensión algebraica sino descartando una o más de las reglas habituales del álgebra. Los cuaterniones son un sistema de números de cuatro componentes que obedecen a un álgebra que no es conmutativa (es decir, generalmente no\(ab = ba\) es cierto). Los octoniones son un sistema aún más complicado de números de ocho componentes que no solo son no conmutativos sino también no asociativos (es decir, no\((ab)c = a(bc)\) es generalmente cierto). Estos y otros sistemas numéricos aún más complicados tienen algunas aplicaciones en física y otros campos, pero en general son mucho menos importantes que\(\mathbb{C}\).

Una gran razón por la que los números complejos han demostrado ser tan importantes y útiles es que es fácil formular una versión de cálculo para ellos. El estudio de las funciones complejas lisas, y sus derivadas e integrales, se denomina análisis complejo. Discutiremos este tema extensamente más adelante en el curso. Veremos que el análisis complejo tiene implicaciones importantes para el cálculo real; por ejemplo, muchas integrales reales pueden resolverse fácilmente generalizándolas primero en integrales complejas. Por el contrario, dado que los cuaterniones y octoniones no son conmutativos, el concepto de “derivado” es complicado de definir para estos sistemas numéricos, dificultando la formulación de un cálculo útil con ellos.