6.3: Soluciones Complejas a la Ecuación de Onda

Es mucho más fácil lidiar con la ecuación de onda si la promovemos en una PDE compleja al dejar\(f(x,t)\) asumir valores complejos. Sin embargo,\(x\) y\(t\) seguirá siendo real. También tomaremos la velocidad de las olas\(v\) para que sea real, por ahora.

De cualquier solución compleja a la ecuación de onda, podemos tomar la parte real para obtener una solución a la PDE real, gracias a la linealidad (ver Sección 4.1):\[\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} - \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2}\right) \mathrm{Re}\left[f(x,t)\right] = \mathrm{Re} \left[ \left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} - \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2}\right) f(x,t)\right] = 0.\] Existe un buen conjunto de soluciones complejas a la ecuación de onda, llamadas ondas viajeras complejas, que toman la forma\[f(x,t) = A \, e^{i(kx - \omega t)} \quad\mathrm{where}\;\; \left|\frac{\omega}{k}\right| = v.\] Puede ser verificado por sustitución directa que esto satisface la PDE. La constante compleja\(A\) se llama amplitud compleja de la onda. Consideremos lo que sucede si tomamos la parte real de la solución anterior:\[\begin{align}\mathrm{Re}\Big\{A \, e^{i(kx - \omega t)}\Big\} &= \mathrm{Re}\Big\{ |A|\, e^{i\mathrm{arg}[A]} \; e^{i(kx - \omega t)}\Big\} \\ &= \big|A\big|\; \mathrm{Re}\Big\{ e^{i\mathrm{arg}[A]} \, e^{i(kx - \omega t)}\Big\} \\ &= \big|A\big|\; \cos\big(kx - \omega t + \mathrm{arg}[A]\big)\end{align}\] Comparando esto con la Ec. (6.2.1), vemos que\(|A|\) sirve como la amplitud de la onda real, mientras que\(\mathrm{arg}(A)\) sirve como factor de fase\(\phi\). Matemáticamente, la solución compleja es más sucinta que la solución real: un único parámetro complejo\(A\) combina los roles de dos parámetros en la solución real.

La representación compleja también hace que las superposiciones de onda sean más fáciles de manejar. Como ejemplo, considere la superposición de dos ondas contrapropagadoras de igual amplitud y frecuencia, con fases arbitrarias. Usando ondas viajeras complejas, podemos calcular la superposición con algunas líneas de álgebra:\[\begin{align}f(x,t) &= \displaystyle \big|A\big| \, e^{i(kx - \omega t + \phi_1)} + \big|A\big| \, e^{i(-kx - \omega t + \phi_2)} \\ &= \displaystyle \big|A\big|\, \left(e^{i(kx + \phi_1)} + e^{-i(kx - \phi_2)}\right)\, e^{-i\omega t} \\ &= \displaystyle \big|A\big|\, \left(e^{i[kx + (\phi_1-\phi_2)/2]} + e^{-i[kx + (\phi_1 - \phi_2)/2]}\right)\, e^{i(\phi_1 + \phi_2)/2} \,e^{-i\omega t} \\ &= \displaystyle 2\big|A\big|\, \cos\left[kx + (\phi_1-\phi_2)/2\right] \,e^{-i[\omega t -(\phi_1+\phi_2)/2]}\end{align}\] Tomando la parte real rinde la Ec. (6.2.5), sin la necesidad de manipulaciones tediosas de fórmulas trigonométricas.