6.4: Ondas en el espacio 3D

La ecuación de onda puede generalizarse a tres dimensiones espaciales reemplazando\(f(x,t)\) con una función de onda que depende de tres coordenadas espaciales,\(f(x,y,z,t)\). La derivada de segundo orden en\(x\) es luego reemplazada por derivadas de segundo orden en cada dirección espacial:\[\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} - \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2}\right) \; f(x,y,z,t) = 0. \label{3dwave}\] Esta PDE soporta soluciones complejas de ondas planas de la forma\[f(x,y,z,t) = A \, e^{i(\vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t)},\] donde\[\vec{k} = \begin{bmatrix}k_x\\k_y\\k_z\end{bmatrix}, \;\;\; \vec{r} = \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}, \;\;\;\frac{\omega}{\sqrt{k_x^2 + k_y^2 + k_z^2}} = v.\] De nuevo, podemos verificar que esta es una solución por sustitución directa. Llamamos\(\vec{k}\) al vector de onda, que generaliza el número de onda\(k\). La dirección del vector de onda especifica la dirección espacial en la que viaja la onda.