7.2: Funciones analíticas

Si una función\(f(z)\) es complejo-diferenciable para todos los puntos\(z\) en algún dominio\(D\subset \mathbb{C}\), entonces\(f(z)\) se dice que es analítica en\(D\).

Los conceptos de analíticidad y diferenciabilidad compleja están estrechamente relacionados. Se trata principalmente de una cuestión de terminología: hablamos de una función que es complejo-diferenciable en un punto dado, y hablamos de que una función es analítica en un dominio dado.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Como se muestra en la sección anterior,\(f(z) = z\) es complejo-diferenciable para cualquier punto\(z \in \mathbb{C}\). De ahí,\(f(z) = z\) es analítico en\(\mathbb{C}\).

El dominio de la analiticidad de una función a menudo se describe espacialmente, en términos del plano complejo. Por ejemplo, podríamos decir que una función es analítica “en todas partes en el plano complejo”, lo que significa todo el dominio\(\mathbb{C}\). O podríamos decir que una función es analítica “en la mitad superior del plano complejo”, es decir, para todos\(z\) tales que\(\mathrm{Im}(z) > 0\).

Funciones analíticas comunes

Hay una clase importante de funciones que son analíticas en todo el plano complejo, o la mayor parte del plano complejo. Estas son funciones generadas a partir de fórmulas algebraicas que no contienen\(z^*\), e involucran\(z\) en alguna combinación “simple” de operaciones como suma, multiplicación y potencias enteras.

Por ejemplo, hemos visto que la función\(f(z) = z\) es analítica en\(\mathbb{C}\). Del mismo modo\(f(z) = \alpha z + \beta\), donde\(\alpha, \beta\) están las constantes complejas, es analítico en todas partes\(\mathbb{C}\). Esto se puede probar de manera similar: También\[\begin{align} f'(z) &= \lim_{\delta z\rightarrow 0} \frac{[\alpha\,(z+\delta z) + \beta] - [\alpha z + \beta]}{\delta z} \\ &= \lim_{\delta z\rightarrow 0} \frac{\alpha \delta z}{\delta z} \\ &= \alpha.\end{align}\] podemos demostrar que\(f(z) = z^n\), con\(n \in \mathbb{N}\), es analítico en todas partes en\(\mathbb{C}\):\[\begin{align} f'(z) &= \lim_{\delta z\rightarrow 0} \frac{(z+\delta z)^n - z^n}{\delta z} \\ &= \lim_{\delta z\rightarrow 0} \frac{(z^n + n z^{n-1} \delta z + \cdots) - z^n}{\delta z} \\ &= n z^{n-1}.\end{align}\] Tenga en cuenta que estos derivados tienen exactamente las mismas fórmulas algebraicas que los derivados reales correspondientes. Esto no es casualidad: para derivar las derivadas complejas, tomamos la misma serie de pasos de álgebra utilizados para derivar las derivadas reales.

De la discusión hasta el momento, es evidente que los polinomios complejos son analíticos en todas partes\(\mathbb{C}\). Asimismo, las funciones que se definen en términos de series de potencia, incluyendo los senos y cosenos complejos exponenciales y complejos, son analíticas en todas partes\(\mathbb{C}\). Las funciones que involucran recíprocas (potencias enteras negativas), como\(f(z) = z^{-1}\) o\(f(z) = z^{-2}\), son analíticas en todas partes excepto en puntos donde\(f(z)\) se vuelve singular (es decir, el denominador va a cero). (Lo demostraremos en la Sección 7.3.)

De manera más general, cuando una función involucra\(z\) en alguna combinación de polinomios enteros, recíprocos o funciones con expansiones de series de potencia, y no involucra de manera irreducible, entonces la función es analítica\(z^*\) en todas partes excepto en los puntos singulares. Además, la fórmula para el derivado complejo es la misma que la fórmula correspondiente para los derivados reales.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

La función\[f(z) = \frac{1}{\cos(z)}\] es analítica en todas partes\(\mathbb{C}\), a excepción de los valores de\(z\) tal que\(\cos(z) = 0\). Con un poco de trabajo (¡pruébalo!) , se puede demostrar que estos\(z\) ocurren en puntos aislados a lo largo de la línea real, en\(z = (m+1/2)\pi\) dónde\(m \in \mathbb{Z}\) y en ninguna otra parte del plano complejo. La derivada compleja es\[f'(z) = \frac{\sin(z)}{[\cos(z)]^2}.\] La forma más fácil de probar estas afirmaciones es usar las ecuaciones de Cauchy-Riemann, las cuales se discuten en la Sección 7.3.

Se debe tener en cuenta una condición. Para potencias no enteras,\(z^a\) donde\(a\notin \mathbb{Z}\), la situación es más complicada porque la operación es multivalorada. Pospondremos la discusión de estas operaciones especiales hasta el Capítulo 8.