10.9: Ejercicios

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Encuentra la relación entre los coeficientes\(\{\alpha_n, \beta_m\}\) en la serie seno/coseno de Fourier y los coeficientes\(f_n\) en la serie exponencial compleja de Fourier:\[\begin{align} f(x) &= \sum_{n=1}^\infty \alpha_n \sin\left(\frac{2\pi n x}{a}\right) + \sum_{m=0}^\infty \beta_m \cos\left(\frac{2 \pi m x}{a}\right) \\ &= \sum_{n=-\infty}^\infty f_n \exp\left(\frac{2\pi i n x}{a}\right). \end{align}\]

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Considera la onda triangular\[f(x) = \left\{\begin{array}{rr}- x, &-a/2 \le x < 0, \\ x, & 0 \le x < a/2\end{array}\right.\]

1. Derivar la expansión de la serie de Fourier.

2. Trazar numéricamente la serie de Fourier y mostrar que converge a la onda triangular a medida que aumenta el número de términos.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Una función periódica\(f(x)\) (con punto\(a\)) se escribe como una serie compleja de Fourier con coeficientes\(\{f_0, f_{\pm1}, f_{\pm2}, \dots\}\). Determine la (s) relación (es) entre los coeficientes de Fourier bajo cada uno de los siguientes escenarios:

1. \(f(x)\)es real para todos\(x\).

2. \(f(x) = f(-x)\)para todos\(x\)

3. \(f(x) = f(-x)^*\)para todos\(x\).

Contestar

Los coeficientes de Fourier vienen dados por\[f_n = \frac{1}{a} \int_{-a/2}^{\,a/2} dx\; e^{-i k_n x}\, f(x), \quad \mathrm{where}\;\, k_n = \frac{2\pi n}{a}.\] First, considera el caso donde\(f(x)\) es real. Tomar el complejo conjugado de ambos lados:\[\begin{align} f_n^* &= \frac{1}{a} \int_{-a/2}^{\,a/2} dx\; \left(e^{-i k_n x}\, f(x)\right)^* \\ &= \frac{1}{a} \int_{-a/2}^{\,a/2} dx\; e^{i k_n x}\, f(x)^* \\ &= \frac{1}{a} \int_{-a/2}^{\,a/2} dx\; e^{i k_n x}\, f(x) \\ &= f_{-n}.\end{align}\] De ahí,\[f_{n} = f_{-n}^*.\] Para el segundo caso,\(f(x) = f(-x),\) realizar un cambio de variables\(x = -u\) en la integral de Fourier:\[\begin{align} f_n &= \frac{1}{a} \int_{-a/2}^{\,a/2} du\; e^{i k_n u}\, f(u) \\ &= f_{-n}.\end{align}\] Para\(f(x) = f(-x)^*\), el mismo cambio de variables da\[f_n = f_n^*.\]

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Demostrar las propiedades de la transformada de Fourier listadas en la Sección 10.4.

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Encuentra la transformada de Fourier de\(f(x) = \sin(\kappa x)/x.\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Demostrar que si\(f(x)\) es una función real, entonces su transformada de Fourier satisface\(F(k) = F(-k)^*\).

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Demostrar que\[\delta(ax) = \frac{1}{a}\,\delta(x),\] dónde\(a\) está cualquier número real distinto de cero.

Contestar

De la definición de la función delta como límite de pico estrecho de un conjunto de ondas gaussianas:\[\delta(ax) = \lim_{\gamma \rightarrow 0} \, \int_{-\infty}^\infty \frac{dk}{2\pi} \, e^{ikax} \, e^{-\gamma k^2}.\] Realizar un cambio de variables\(k = q/a\) y\(\gamma = \gamma' \, a^2\):\[\begin{align} \delta(ax) &= \lim_{\gamma' \rightarrow 0} \, \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{a}\frac{dq}{2\pi} \, e^{iqx} \, e^{-\gamma' q^2} \\ &= \frac{1}{a} \delta(x).\end{align}\]

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Calcular\[\int_{-\infty}^\infty dx \int_{-\infty}^\infty dy \; x^2\, \delta\left(\sqrt{x^2+y^2}-a\right),\] dónde\(a\) está un número real.

Contestar

Realizar un cambio de variables de coordenadas cartesianas\((x,y)\) a coordenadas polares\((r,\phi)\):\[\begin{align} \int_{-\infty}^\infty dx \int_{-\infty}^\infty dy \; x^2\, \delta\left(\sqrt{x^2+y^2}-a\right) &= \int_0^{\infty} dr \int_{0}^{2\pi} rd\phi\, \cdot\, r^2\cos^2\phi\; \delta(r-a) \\ &= \left(\int_0^{\infty} dr \, r^3\, \delta(r-a)\right) \left(\int_{0}^{2\pi}\!d\phi \, \cos^2\phi\right) \\ &= \begin{cases}\pi a^3, & a \ge 0 \\ 0, & a < 0.\end{cases} \end{align}\]